江苏扬州中学2019年度高三上学期10月月考试题.doc

-! a2018-2019学年高三上学期阶段检测数学试卷 18.10 一.填空题 1.已知全集，集合，则= ▲ . 2.命题“”的否定是 ▲ ． 3. 已知虚数满足，则 ▲ ． 4.“”是“”的 ▲ .条件. （从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择填空） 5.已知向量当三点共线时，实数的值为 ▲ .． 6. 在中，角所对的边分别为若则_ ▲ .. 7. 设函数满足，当时，，则= ▲ . 8. 已知，，则的值为 ▲ . 9.已知函数的图象关于直线对称，且当时，若则由大到小的顺序是 ▲ . 10. 若函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值为 ▲ . 11. 已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数的取值集合为 ▲ . 12. 已知点在所在平面内，且则取得最大值时线段的长度是 ▲ . 13. 在中，若则 的最大值为 ▲ . 14.已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与 一个奇函数之和，设 若方程无实根，则实数的取值范围是▲ . 二.解答题 15.已知命题指数函数在上单调递减，命题关于 的方程的两个实根均大于3.若“或”为真,“且 ”为假,求实数的取值范围. 16. 函数在一个周期内的图象如图所示,为 图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形. (Ⅰ)求的值及函数的值域；(Ⅱ)若,且,求的值. 17. 已知向量角为的内角，其所对的边分别为 （1）当取得最大值时，求角的大小；（2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围. 18. 为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB＝8km，BC＝km．经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO,BO,NO与各村通达．若道路建设成本AO,BO段为每公里万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为万元． （1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离； （2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离. 19. 设、． （1）若在上不单调，求的取值范围； （2）若对一切恒成立，求证：； （3）若对一切，有，且的最大值为1，求、满足的条件。 20. 已知函数． （1）若函数的图象在处的切线经过点，求的值； （2）是否存在负整数，使函数的极大值为正值？若存在，求出所有负整数的值；若不存在，请说明理由； （3）设，求证：函数既有极大值，又有极小值． 理科加试题 1.已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵． C E B D A A1 D1 C1 B1 F 2.在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且。求直线与平面所成角的正弦值的大小； 3. 某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止． （1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金元的概率； （2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由． 4. 已知（），是关于的次多项式； （1）若恒成立，求和的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明． （2）求证：对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，，，…，，使得 ． 扬州中学高三年级10月份阶段检测数学试卷答案 18.10 一.填空题 1. {1}；2.；3. ；4.必要不充分；5.—2或11；6.7.； 8.1；9.b>a>c；10.或11.；12.；13.；14.。 二.解答题 15.解：当为真时，，；当为真时，，解得： 由题意知、一真一假。（1）当真假时，解得（2）当假真时，解得 16. 解：(Ⅰ)由已知可得: =3cosωx+又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4 所以,函数 。所以，函数 。 (Ⅱ)因为(Ⅰ)有 ，由x0 所以, ， 故 ． 17.解：（1），令， 原式，当，即，时，取得最大值. （2）当时，，.由正弦定理得：（为的外接圆半径） 于是 .由，得，于是，，所以的范围是. 18.解：（1）不妨设,依题意，，且 由 若三条道路建设的费用相同，则 所以所以。 由二倍角的正切公式得，，即 答：该文化中心离N村的距离为 （2）总费用 即，令 当 所以当有最小值，这时， 答：该文化中心离N村的距离为 19. 解（1）由题意，； （2）须与同时成立，即，； （3）因为，依题意，对一切满足的实数，有． ①当有实根时，的实根在区间内，设，所以，即，又，于是，的最大值为，即，从而．故，即，解得． ②当无实根时，，由二次函数性质知，在上的最大值只能在区间的端点处取得，所以，当时，无最大值．于是，存在最大值的充要条件是，即，所以，．又的最大值为，即，从而．由，得，即．所以、满足的条件为且．综上：且 20.解：（1）∵ ∴, ∴函数在处的切线方程为：，又直线过点 ∴，解得： ………2分 （2）若，， 当时，恒成立，函数在上无极值； 当时，恒成立，函数在上无极值； 方法（一）在上，若在处取得符合条件的极大值，则，5分 则，由（3）得：，代入（2）得： ，结合（1）可解得：，再由得：， 设，则，当时，，即是增函数， 所以， 又，故当极大值为正数时，，从而不存在负整数满足条件． ………8分 方法（二）在时，令，则 ∵ ∴ ∵为负整数 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在上单调减 又， ∴，使得 …5分 且时，，即；时，，即； ∴在处取得极大值 （*） 又∴代入（*）得： ∴不存在负整数满足条件． ………8分 （3）设，则， 因为，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故至多两个零点． 又，，所以存在，使 再由在上单调递增知， 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增； 所以函数在处取得极小值． ………12分 当时，，且， 所以， 函数是关于的二次函数，必存在负实数，使，又， 故在上存在，使， 再由在上单调递减知， 当时，，故，单调递增； 当时，，故，单调递减； 所以函数在处取得极大值． 综上，函数既有极大值，又有极小值． ………16分 理科加试答案 1. 解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，即c＋d＝6； 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，即3c－2d＝－2． 解得即A＝， A的逆矩阵是 ． 2. 解：分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以． ，设平面的一个法向量为，由解得取，则，因为，，，所以,因为，所以是锐角，是直线与平面所成角的余角，所以直线与平面所成角的正弦值为． 3. 解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元为事件． 则 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元的概率为． …………4分 （2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下： ①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取 则 …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取 则 ……8分 当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等； 当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当 4. 解：（1）令，则，即， 因为，所以； 令，则，即， 因为，因为，所以；例如． （2）当时，，故存在常数，， 使得． 假设当（）时，都存在与无关的常数，，，…，， 使得，即 ． 则当时， ； 令，，（），； 故存在与无关的常数，，，…，，；使得 ． 综上所述，对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，，，…，， 使得．