(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义: 第九章 导数及其应用 9.1 导数的概念及几何意义、导数的运算讲义.doc
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1、9.1导数的概念及几何意义、导数的运算命题探究(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=13A1B12PO1=13622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h6,O1O=4h(m).连结O1B1.因为在RtPO1B1中,O1B12+PO12=PB12,所以2a22+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+13a2h=1
2、33a2h=263(36h-h3),0h6,从而V=263(36-3h2)=26(12-h2).令V=0,得h=23或h=-23(舍).当0h0,V是单调增函数;当23h6时,V0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)5.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-3教师用书专用(69)6.(2013广东理,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.答案-17.(2013重庆理,17,13分)设f(x)=a
3、(x-5)2+6ln x,其中aR,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f (x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a, f (1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知, f(x)=12(x-5)2+6ln x(x0), f (x)=x-5+6x=(x-2)(x-3)x.令f (x)=0,解得x1=
4、2,x2=3.当0x3时, f (x)0,故f(x)在(0,2),(3,+)上为增函数;当2x3时, f (x)2x+x33;(3)设实数k使得f(x)kx+x33对x(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f (x)=11+x+11-x, f (0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)-2x+x33,则g(x)=f (x)-2(1+x2)=2x41-x2.因为g(x)0(0xg(0)=0,x(0,1),即当x(0,1)时, f(x)2x+x33.(3)由(2
5、)知,当k2时, f(x)kx+x33对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)=f(x)-kx+x33,则h(x)=f (x)-k(1+x2)=kx4-(k-2)1-x2.所以当0x4k-2k时,h(x)0,因此h(x)在区间0,4k-2k上单调递减.当0x4k-2k时,h(x)h(0)=0,即f(x)2时, f(x)kx+x33并非对x(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.9.(2013北京理,18,13分)设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=lnxx,则f (x)=1-ln
6、xx2.所以f (1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1).g(x)满足g(1)=0,且g(x)=1-f (x)=x2-1+lnxx2.当0x1时,x2-10,ln x0,所以g(x)1时,x2-10,ln x0,所以g(x)0,故g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)=0(x0,x1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为.答案32.(2014福建,20,
7、14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x0时,x2ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时,恒有x2cex.解析(1)由f(x)=ex-ax,得f (x)=ex-a.又f (0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f (x)=ex-2.令f (x)=0,得x=ln 2.当xln 2时, f (x)ln 2时, f (x)0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2l
8、n 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x.由(1)得g(x)=f(x)f(ln 2)0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时,x2cex.取x0=0,当x(x0,+)时,恒有x2cex.若0c1,要使不等式x2kx2成立.而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h(x)=1-2x=x-2x,所以当x2时,h(x)0,h(x)在(2,+)内单调递增.取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+)内单
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