2019版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第7章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质 .docx
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1、第5讲直线、平面垂直的判定及性质板块一知识梳理自主学习必备知识考点1直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直2直线与平面垂直的判定定理3直线与平面垂直的性质定理考点2平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理2平面与平面垂直的性质定理必会结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直考点自测 1判断下列结论的
2、正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行()(2)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行()(3)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()(4)二面角是指两个相交平面构成的图形()(5)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018浙江模拟设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()A若mn,n,则mB若m,则mC若m,n,n,则mD若mn,n,则m答案C解析对于选项A,B,D,均能举出m的反例;对于选项C,若m,n,则mn,又n,m.故选C.3课本改编若m,
3、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A若m,则mB若m,n,mn,则C若m,m,则D若,则答案C解析A中m与的位置关系不确定,故错误;B中,可能平行或相交,故错误;由面面垂直的判定定理可知C正确;D中,平行或相交 ,所以D错误故选C.4在如图所示的四个正方体中,能得出ABCD的是()答案A解析A中,CDAB;B中,AB与CD成60角;C中,AB与CD成45角;D中,AB与CD夹角的正切值为.故选A.板块二典例探究考向突破考向有关垂直关系的判断 例12017广州模拟设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A若,m,n,则mnB若m,mn,n,则C
4、若mn,m,n,则D若,m,n,则mn答案B解析若,m,n,则m与n相交、平行或异面,故A错误;m,mn,n,又n,故B正确;若mn,m,n,则与的位置关系不确定,故C错误;若,m,n,则mn或m,n异面,故D错误故选B.触类旁通判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练,借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准(2)善于寻找反例,若存在反例,结论就被驳倒了(3)要思考完整,反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明【变式训练1】2018北京东城模拟已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A,且m Bmn,且nC,且m Dm
5、n,且n答案B解析因为,m,则m,的位置关系不确定,可能平行、相交、m在面内,故A错误;由线面垂直的性质定理可知B正确;若,m,则m,的位置关系也不确定,故C错误;若mn,n,则m,的位置关系也不确定,故D错误故选B.考向直线与平面垂直的判定与性质 命题角度1利用线线垂直证明线面垂直例22018湖北宜昌模拟在正三棱柱ABCA1B1C1中,BCBB1,E,F,M分别为A1C1,AB1,BC的中点(1)求证:EF平面BB1C1C;(2)求证:EF平面AB1M.证明(1)连接A1B,BC1.因为E,F分别为A1C1,AB1的中点,所以F为A1B的中点,所以EFBC1.因为BC1平面BB1C1C,EF
6、平面BB1C1C,所以EF平面BB1C1C.(2)在矩形BCC1B1,BCBB1,所以tanCBC1,tanB1MB.所以tanCBC1tanB1MB1.所以CBC1B1MB.所以BC1B1M.因为EFBC1,所以EFB1M.在正三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC平面BB1C1C.因为M为BC的中点,ABAC,所以AMBC.因为平面ABC平面BB1C1CBC,所以AM平面BB1C1C.因为BC1平面BB1C1C,所以AMBC1因为EFBC1,所以EFAM.又因为AMB1MM,AM平面AB1M,B1M平面AB1M,所以EF平面AB1M.命题角度2利用线面垂直证明线线垂直例3 2017江苏高考
7、如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCABB,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平
8、面垂直的常用方法有:判定定理;垂直于平面的传递性(ab,ab);面面平行的性质(a,a);面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质考向面面垂直的判定与性质 例42017全国卷如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,且BAPCDP90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积解(1)证明:由已知BAPCDP90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)如图,在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(
9、1)知,AB平面PAD,故ABPE,ABAD,可得PE平面ABCD.设ABx,则由已知可得ADx,PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3,故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2,ADBC2,PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062.触类旁通判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理(a,a)【变式训练2】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,ABCD,ABBC,DCBCAB1,点M在线段EC上(1)证明:平面BDM平面ADEF;(2)若AE平面MDB,求三棱锥EBDM的体
10、积解(1)证明:DCBC1,DCBC,BD.在梯形ABCD中,AD,AB2,AD2BD2AB2,ADB90.ADBD.又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCDAD,BD平面ADEF.又BD平面BDM,平面BDM平面ADEF.(2)如图,连接AC,ACBDO,连接MO,平面EAC平面MBDMO,AE平面MDB,AE平面EAC,AEOM.又ABCD,2,SEDMSEDC1.ADEF为正方形,EDAD.又平面ADEF平面ADCB,ED平面ABCD,BC平面ABCD,DEBC.ABCD,ABBC,BCCD.又EDDCD,BC平面EDC.VEBDMVBEDMSEDMBC1.核心规律转化思想:
11、垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决满分策略1.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时,考生易忽视说明平面内的两条直线相交,而导致被扣分,这一点在证明中要注意口诀:线不在多,重在相交2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.板块三启智培优破译高考题型技法系列 12等体积法求点到平面的距离 2018内蒙古模拟如图,在直三棱柱ABCDEF中,底面ABC的棱ABBC,且ABBC2.点G,H在侧棱CF上,且CHHGGF1.(1)证明:
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