2019版高考数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义:第8章 平面解析几何 第7讲抛物线 .docx
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1、第7讲抛物线板块一知识梳理自主学习必备知识考点1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线其数学表达式:|MF|d(其中d为点M到准线的距离)考点2抛物线的标准方程与几何性质 必会结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则:(1)x1x2,y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“
2、”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切()(3)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x.()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形()(5)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1y2p2,弦长|AB|x1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)(5)22018江西八校联考已知抛物线yax2(a0)的焦点到准线的距离为2,则a()A4 B2 C. D.答案C解析化为标准方程x2y,据题意22
3、,a.3课本改编设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12答案B解析抛物线准线方程x2,点P到准线的距离为6,P到焦点的距离也为6,选B.4课本改编已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x答案D解析由已知知双曲线的焦点为(,0),(,0)设抛物线方程为y22px(p0),则,所以p2,所以抛物线方程为y24x.故选D.5已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦,|AB|4,则AB中点C的横坐标是()A2 B. C. D.答案C解析设A(x1,y1),B(x2,
4、y2),则|AB|x1x2p4,又p1,x1x23,点C的横坐标是.故选C.62018唐山模拟若抛物线x2ay过点A,则点A到此抛物线的焦点的距离为_答案解析由题意可知,点A在抛物线x2ay上,所以1a,解得a4,得x24y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离,所以点A到抛物线的焦点的距离为yA11.板块二典例探究考向突破考向抛物线的方程及几何性质 例1(1)2016全国卷设F为抛物线C:y24x 的焦点,曲线y(k0)与C交于点P,PFx轴,则k()A. B1 C. D2答案D解析易知抛物线的焦点为F(1,0),设P(xP,yP),由PFx轴,可得xP1,代入抛物线方程,
5、得yP2(2舍去),把P(1,2)代入曲线y(k0),得k2.(2)已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx1 Dx2答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y,与抛物线方程联立得消去y整理得:x23px0,可得x1x23p.根据中点坐标公式,有3,p2,因此抛物线的准线方程为x1.(2)过抛物线C:y24x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB
6、|_.答案解析设A(xA,yA),B(xB,yB),y24x,抛物线的准线为x1,F(1,0),又A到抛物线准线的距离为4,xA14,xA3,xAxB1,xB,|AB|xAxBp32.考向抛物线定义及应用命题角度1到焦点与到定点距离之和最小问题 例22018赣州模拟若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y22x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|MA|取得最小值的M的坐标为()A(0,0) B.C(1,) D(2,2)答案D解析过M点作准线的垂线,垂足是N,则|MF|MA|MN|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|MA|取得最小值,此时M(2,2)命题角度2到点与准线的距离之和最小问题
7、例32018邢台模拟已知M是抛物线x24y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x1)2(y5)21上,则|MA|MF|的最小值是_答案5解析依题意,由点M向抛物线x24y的准线l:y1引垂线,垂足为M1,则有|MA|MF|MA|MM1|,结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到y1的距离再减去圆C的半径,即等于615,因此|MA|MF|的最小值是5.命题角度3到定直线的距离最小问题例4已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2 C. D3答案B解析由题可知l2:x1是抛物线y24x的准线,设抛物线的
8、焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x3y60的距离,所以最小值是2.命题角度4焦点弦中距离之和最小问题例5已知F是抛物线y2x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,且|AF|BF|3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1 C. D.答案C解析如图所示,设抛物线的准线为l,AB的中点为M,作AA1l于A1,BB1l于B1,MM1l于M1,由抛物线的定义知p,|AA1|BB1|AF|BF|3,则点M到y轴的距离为|MM1|(|AA1|BB1|).触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上
9、的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决考向抛物线在实际生活中的应用例6一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸(单位:m)如图所示,一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4.5 m,此车能否通过隧道?说明理由解建立如图所示的直角坐标系,设矩形的边与抛物线的接点为A,B,则A(3,3),B(3,3)设抛物线方程为x22py(p0),将B点坐标代入得92p(3),所以p.所以抛物线方程为x23y(3y0)因为车与箱共高4.
10、5 m,所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶0.5 m.设抛物线上点D的坐标为(x0,0.5),则x,所以|x0|,所以2|x0|0,即m1时,x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|,即42(m1),解得m7.所以直线AB的方程为yx7.触类旁通求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|x1x2p
11、(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式【变式训练2】2016江苏高考如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:xy20,抛物线C:y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2p,p);求p的取值范围解(1)抛物线C:y22px(p0)的焦点为,由点在直线l:xy20上,得020,即p4,所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0)因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1,则可
12、设其方程为yxb.证明:由消去x,得y22py2pb0.因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而(2p)24(2pb)0,化简得p2b0.方程y22py2pb0的两根为y1,2p,从而y0p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x02p.因此,线段PQ的中点坐标为(2p,p)因为M(2p,p)在直线yxb上,所以p(2p)b,即b22p.由知p2b0,于是p2(22p)0,所以p0),前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)满分策略1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值,但首先要判断抛物线是
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