2022年椭圆及其性质知识点题型总结材料 .pdf
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1、学习资料收集于网络,仅供参考学习资料椭圆知识清单1.椭圆的两种定义:平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长2122FFaa的动点 P 的轨迹,即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F2|; (212FFa时为线段21FF,212FFa无轨迹)。其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹, 即点集M=P| edPF,0e1 的常数。 (1e为抛物线;1e为双曲线)(利用第二定义, 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化,定点为焦点,定直线为准线). 2 标准方程:(1)焦点在 x
2、 轴上,中心在原点:12222byax(ab0) ;焦点 F1( c,0) ,F2(c,0) 。其中22bac(一个Rt三角形)(2)焦点在 y 轴上,中心在原点:12222bxay(ab0) ;焦点 F1(0,c) ,F2(0,c) 。其中22bac注意: 在两种标准方程中,总有ab0,22bac并且椭圆的焦点总在长轴上;两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A0,B0,AB) ,当 AB 时,椭圆的焦点在x 轴上, AB 时焦点在y 轴上。3 参数方程: 焦点在 x 轴,sincosbyax(为参数)4 一般方程:)0,0(122BAByAx名师资料总结 - - -精品资料欢
3、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料5.性质: 对于焦点在x 轴上,中心在原点:12222byax(ab0)有以下性质:坐标系下的性质:范围: |x|a,|y|b;对称性: 对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O(0,0) ;顶点:A1(-a,0) , A2(a,0) ,B1(0,-b) ,B2(0,b) ,长轴 |A1A2|=2a,短轴 |B1B2|=2b;(a半长轴长,b半短轴长);椭圆的准线方程:对于12
4、222byax,左准线caxl21:;右准线caxl22:对于12222bxay,下准线cayl21:;上准线cayl22:焦点到准线的距离cbccaccap2222(焦参数)椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称焦半径公式:P(x0, y0)为椭圆上任一点。|PF1|=左r=a+ex0,|PF2|=右r=a-ex0;|PF1|=下r=a+ey0,|PF2|=上r=a-ey0 caPFcaPFminmax,,左加右减,上减下加通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通径最短 =ab22平面几何性质:离心率: e=2221ccbaa
5、a(焦距与长轴长之比)1 ,0;e越大越扁,0e是圆。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料焦准距cbp2;准线间距ca22两个最大角221max21221max21,ABAPAAFBFPFF焦点在 y 轴上,中心在原点:12222bxay(ab0)的性质可类似的给出。6焦点三角形 应注意以下关系:(1) 定义:r1r22a(2) 余弦定理:21r22r2r1r2cos(2c)2(
6、3) 面积:21FPFS21r1r2 sin212c| y0 |= c| y0 |=2tan2b ( 其中 P(00, yx) 为椭圆上一点,|PF1| r1,|PF2| r2,F1PF2)7. 共 焦 点 的 椭 圆 系 设 法 : 把 椭 圆12222byax( a b 0 ) 的 共 焦 点 椭 圆 设 为222221()xybab8. 特别注意: 椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关 , 而焦点坐标 ,准线方程 ,顶点坐标 ,与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程. 9.弦 长 公 式 :22121221111ABkxx
7、yykka1212bxxacx xa(a,b,c 为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料例 1 . 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A的小球(小球的半径不计),
8、从点 A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是()A4a B 2(a c) C2(a+c) D以上答案均有可能例 2.点 P 为为椭圆)0(12222babyax上一点, F1、F2是椭圆的两个焦点,试求:21PFPF取得最值时的P点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程例 3. 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为244,求此椭圆方程. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 1
9、3 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料考点二椭圆的几何性质题型 1: 求椭圆的离心率(或范围)例 4. 在ABC中,3, 2| ,300ABCSABA若以AB,为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)例 5. 已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型 1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例 6. 椭圆191622yx上的点到直线l:09yx的距离的最小值为_题型 2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
10、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料1、的最值若 A 为椭圆内一定点(异于焦点),P 是 C 上的一个动点,F 是 C 的一个焦点, e 是 C 的离心率,求的最小值。例 7. 已知椭圆内有一点 A(2,1) ,F 是椭圆 C 的左焦点, P为椭圆 C 上的动点,求的最小值。2、的最值若 A 为椭圆 C 内一定点(异于焦点), P为 C 上的一个动点, F是 C 的一个焦点, 求的最值。例 8 已知椭圆内有一点A(2,1) ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭
11、圆上动点,求的最大值与最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络,仅供参考学习资料3、的最值若 A 为椭圆 C 外一定点,为 C 的一条准线, P为 C 上的一个动点,P 到的距离为 d,求的最小值。例 9. 已知椭圆外一点 A(5,6) ,为椭圆的左准线,P 为椭圆上动点,点P到的距离为d,求的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例 10. 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上
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