2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案:第一讲 一 平面直角坐标系 .doc
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1、一平面直角坐标系 1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系,从而实现数与形的结合(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”:第一步:建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算解决代数问题;第三步:把代数运算结果翻译成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面
2、直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换 用坐标法解决几何问题例1已知ABC中,ABAC,BD、CE分别为两腰上的高求证:BDCE.思路点拨由于ABC为等腰三角形,故可以BC为x轴,以BC中点为坐标原点建立直角坐标系,在坐标系中解决问题证明如图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系设B(a,0),C(a,0),A(0,h)则直线AC的方程为yxh,即:hxayah0.直线AB的方程为yxh,即:hxayah0.由点到直线的距离公式:得|BD|,|CE|.|BD|CE|,即BDCE.建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则:如果图形有对称
3、中心,选对称中心为原点,如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴,使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上1求证等腰梯形对角线相等已知:等腰梯形ABCD.求证:ACBD.证明:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系设A(a,h),B(b,0),则D(a,h),C(b,0)|AC|,|BD|.|AC|BD|,即等腰梯形ABCD中,ACBD.2已知ABC中,BDCD,求证:AB2AC22(AD2BD2)证明:以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐系xOy,则A(0,0)设B(a,0),C(b,c),则D(,),所以AD2BD2(a2b2c2),AB2AC2
4、a2b2c22(AD2BD2).用平面直角坐标系解决实际问题例2如图所示,A,B,C是三个观察站,A在B的正东,两地相距6 km,C在B的北偏西30,两地相距4 km,在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B,C两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B两点的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的P的坐标思路点拨由题意可知,点P所在的位置满足两个条件:(1)在线段BC的垂直平分线上;(2)在以A,B为焦点的双曲线上解设点P的坐标为(x,y),则A(3,0),B(3,0),C(5,2)因为|PB|PC|,所以点P在B
5、C的中垂线上因为kBC,BC的中点D(4,),所以直线PD的方程为y(x4)又因为|PB|PA|4,所以点P必在以A,B为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为1(x2)联立,解得x8或x(舍去),所以y5.所以点P的坐标为(8,5)运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系建立平面直角坐标系建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴(2)设点选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程(3)运算通过运算,得到所需要的结果3已知B村位于A村的正西方向1千米处,原计划经过B村沿着北偏东60的方向埋设一条地下管线m,但A村的西北方向40
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