2017-2018学年高中数学苏教版必修三教学案:第2章 2.2 总体分布的估计 .doc
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1、某制造商为2013年全运会生产一批直径为40 mm 的乒乓球,现随机抽样检查20只,测得每只球的直径(单位:mm,保留两位小数)如下400340.0039.9840.0039.9940.0039.98400139.9839.9940.0039.9939.9540.01400239.9840.0039.9940.0039.96问题1:上述20个数据中最大值与最小值分别是多少,它们相差多少?提示:最大值为40.03,最小值为39.95,其差为0.08.问题2:将上述数据分组统计,分组情况为39.95,39.97),39.97,39.99),39.99,40.01),40.01,40.03,求各组个
2、数提示:各组数据的个数为2,4,10,4.问题3:试求出各组数据所占的比例?提示:分别为0.10,0.20,0.50,0.20.问题4:能否用一个直观图来表示问题2中各组数据的分布情况?提示:可以1频率分布表(1)定义:当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表(2)绘制的步骤:求全距,决定组数和组距,组距.分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间登记频数,计算频率,列出频率分布表2频率分布直方图(1)定义:我们用直方图反映样本的频率分布规律,这样的直方图称为频率分布直方图(2)绘制步骤:先制作频率分布表建立直
3、角坐标系:把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距,并标上一些关键点画矩形:在横轴上,以连结相邻两点的线段为底,以纵轴上为高作矩形,这样得一系列矩形,就构成了频率分布直方图3频率分布折线图(1)定义:把频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到频率分布折线图(2)总体分布密度曲线:频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线1在频率分布表中,除最后一个区间是闭区间,其他区间均为左闭右开区间,这样做的目的是为了不重不漏,避免丢失样本数据2在频率分布直方图中,各
4、个小矩形的面积之和为1.3频率分布直方图直观地显示了数据分布信息,从而为分析估计总体提供了依据4频率分布折线图反映了数据的变化趋势,可用来对数据进行估计和预测 例1从某校参加 2016年全国高中数学联赛预赛的600名同学中,等可能抽取若干名同学,将他们的成绩制成频率分布表,下面给出了此表中部分数据(1)根据表中已知数据,依次写出在、处的数值;(2)补全在区间70,140上的频率分布直方图;(3)若成绩不低于110分的同学能参加决赛,那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛?分组频数频率70,80)0.0880,90)90,100)0.36100,110)160.32110,120)0.0812
5、0,130)2130,1400.02合计思路点拨根据频率分布表作出频率分布直方图精解详析(1)500.040.10.(2)如图:(3)成绩不低于110分的同学能参加决赛的频率为0080.040.020.14,所以估计该校能参加决赛的人数大约为6000.1484.一点通1.在列频率分布表时,全距、组距、组数有如下关系:(1)若为整数,则组数(2)若不为整数,则的整数部分1组数2组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为512组,一般样本容量越大,所分组
6、数越多1. 从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中,抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小长方形的高的比是13642,最右边一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息,解答下列问题:(1)样本的容量是多少?(2)列出频率分布表解:(1)由于各组的组距相等,所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1,那么各组的频率分别为,.设该样本容量为n,则,所以样本容量为n48.(2)由以上得频率分布表如下:成绩频数频率50.5,60.5)360.5,70.5)970.5,80.5)1880.5,90.5)1290.5,100.5)6
7、合计4812有一容量为200的样本,数据的分组以及各组的频数如下:20,15),7;15,10),11;10,5),15;5,0),40;0,5),49;5,10),41;10,15),20;15,20),17.(1)列出样本的频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)求样本数据不足0的频率解:(1)频率分布表如下:分组频数频率20,15)70.03515,10)110.05510,5)150.0755,0)400.2000,5)490.2455,10)410.20510,15)200.10015,20)170.085合计2001.00(2)频率分布直方图如图所示:(3)样本数据不足0的频率
8、为0.365. 例2(12分)为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图(如图所示),第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该校全体高一学生的达标率是多少?思路点拨(1)利用频率等于对应小长方形面积来确定;(2)满足条件的频率之和即为达标率精解详析(1)由题中可知第二小组100,110)对应的为0.008,而组距为10,故频率为0.008100.08,(4分)设样本容量为为n,则0.08,n150.(8分)(2)根据频率分布直方图,次数在110以上共有四
9、组估计该校全体高一学生的达标率为:10.040.080.88.(12分)一点通1.频率分布直方图的性质:(1)因为小矩形的面积组距频率/组距频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小(2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1.(3)频数/相应的频率样本容量2频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性3观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如下图所示,则新生婴儿体重在2 700,3 000)内的频率为_解析:由图可知当新生婴儿
10、体重在2 700,3 000)内时,0.001,而组距为300,所以频率为0.0013000.3.答案:0.34为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是_解析:依题意,设第2小组的频率为2x,则有6x1(0.0370.013)5,得2x0.25,即第2小组的频率为0.25,因此报考飞行员的学生人数是48.答案:485为了解电视对生活的影响,一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方
11、图(如图),为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查,则在2.5,3(小时)时间段内应抽出的人数是_解析:抽出的100人中平均每天看电视的时间在2.5,3(小时)时间内的频率是0.50.50.25,所以这10 000人中平均每天看电视的时间在2.5,3(小时)时间内的人数是10 0000.252 500,抽样比是,则在2.5,3(小时)时间段内应抽出的人数是2 50025.答案:251频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据情况的,是相同数据的两种不同的表达方式2频率分布表在数量表示上比较确切,但不
12、够直观、形象,用它来分析数据分布的总体趋势不太方便,而频率分布直方图能够表示大量数据,非常直观、形象地表明分布的规律,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式但是直方图会丢失一些信息,如原始数据不能在图中表示出来 课下能力提升(十一)一、填空题1如图是容量为100的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空(1)样本数据在范围6,10)内的频率为_;(2)样本数据落在范围10,14)内的频数为_解析:(1)样本数据在6,10)内频率为0.0840.32.(2)在10,14)内的频数为0.09410036.答案:(1)0.32(2)362为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工
13、人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为45,55),55,65),65,75),75,85),85,95,由此得到频率分布直方图如下图,则这20名工人中一天生产该产品数量在55,75)的人数是_解析:由题意得,这20名工人中一天生产该产品数量在55,75)的人数是20(0.0400.025)1013(人)答案:133将容量为100的样本数据,按从小到大的顺序分成8个组,如下表:组号12345678频数914141312x1310则第六组的频率为_解析:914141312x1310100,x15.P0.15.答案:0.154为提高公众对健康的自我管理能力和科学认识,某调查机构共调查了200
14、人在一天中的睡眠时间现将数据整理分组,如下表所示由于操作不慎,表中A,B,C,D四处数据污损,统计员只记得A处的数据比C处的数据大4,由此可知B处的数据为_.分组(睡眠时间)频数频率4,5)80.045,6)520.266,7)AB7,8)CD8,9)200.109,1040.02合计2001解析:设A处的数据为x,则C处的数据为x4,则xx4852204200,x60,则B处数据为0.3.答案:0.35对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)25,30)年龄组对应小矩形的高度为_;(2
15、)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在25,35)的人数为_解析:设25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5(0.01h0.070.060.02)1,h0.04.志愿者年龄在25,35)的频率为5(0.040.07)0.55,故志愿者年龄在25,35)的人数约为0.55800440.答案:0.04440二、解答题6.某工厂对一批产品进行了抽样检测,右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为96,98),98,100),100,102),102,104),104,106)已知样本中产品净重小于100克的个数是36
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