-*
2-1 什么是系统的数学模型?在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些?
用来描述系统因果关系的数学表达式，称为系统的数学模型。
常见的数学模型形式有：微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。
2-2 简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。
2-3 什么是小偏差线性化？这种方法能够解决哪类问题？
在非线性曲线（方程）中的某一个工作点附近，取工作点的一阶导数，作为直线的斜率，来线性化非线性曲线的方法。
2-4 什么是传递函数？定义传递函数的前提条件是什么？为什么要附加这个条件？传递函数有哪些特点？
传递函数：在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
定义传递函数的前提条件：当初始条件为零。
为什么要附加这个条件：在零初始条件下，传递函数与微分方程一致。
传递函数有哪些特点：
1．传递函数是复变量S的有理真分式，具有复变函数的所有性质；且所有系数均为实数。
2．传递函数是一种有系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。
3．传递函数与微分方程有相通性。
4．传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
2-5 列写出传递函数三种常用的表达形式。并说明什么是系统的阶数、零点、极点和放大倍数。
其中
其中
传递函数分母S的最高阶次即为系统的阶数，为系统的零点，为系统的极点。为传递函数的放大倍数，为传递函数的根轨迹放大倍数。
2-6 自动控制系统有哪几种典型环节？它们的传递函数是什么样的？
1．比例环节
2．惯性环节
3．积分环节
4．微分环节
5．振荡环节
6．时滞环节
2-7 二阶系统是一个振荡环节，这种说法对么？为什么？
当阻尼比时是一个振荡环节，否则不是一个振荡环节。
2-8 什么是系统的动态结构图？它等效变换的原则是什么？系统的动态结构图有哪几种典型的连接？将它们用图形的形式表示出来，并列写出典型连接的传递函数。
2-9 什么是系统的开环传递函数？什么是系统的闭环传递函数？当给定量和扰动量同时作用于系统时，如何计算系统的输出量？
答：系统的开环传递函数为前向通路传递函数与反馈通路传递函数之积。
系统的闭环传递函数为输出的拉氏变换与输入拉氏变换之比。
当给定量和扰动量同时作用于系统时，通过叠加原理计算系统的输出量。
2-10 列写出梅逊增益公式的表达形式，并对公式中的符号进行简要说明。
2-11 对于一个确定的自动控制系统，它的微分方程、传递函数和结构图的形式都将是唯一的。这种说法对么吗？为什么？
答：不对。
2-12 试比较微分方程、传递函数 、结构图和信号流图的特点于适用范围。列出求系统传递函数的几种方法。
2-13 试求出图P2-1中各电路的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。
解：（a）解法1：首先将上图转换为复阻抗图，
由欧姆定律得：
I(s)=(Ur-Uc)/(R+Ls)
由此得结构图：
Uc=I(s)(1/Cs)
由此得结构图：
整个系统结构图如下：
根据系统结构图可以求得传递函数为：
WB(s)=Uc/Ur=[[1/(R+Ls)](1/Cs)]/[ 1+[1/(R+Ls)](1/Cs)]
=1/[LCs2+RCs+1]=1/[TLTCs2+TCs+1]
其中：TL=L/R; TC=RC
解法2：由复阻抗图得到：
所以：
解：（b）解法1：首先将上图转换为复阻抗图，
根据电路分流公式如下：
同理：
其中： 代入中，则
所以：
解法2：首先将上图转换为复阻抗图（如解法1图）
画出其结构图如下：
化简上面的结构图如下：
应用梅逊增益公式：
其中：
、
所以
、
、
所以：
解：(c) 解法与(b)相同，只是参数不同。
2-14 试求出图P2-2中各有源网络的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。
解：（a）
其中： 其中：、
所以：
解：（b）如图：
将滑动电阻分为和，
，，其中
所以：
解：（c）解法与（b）相同。
2-15 求图P2-3所示各机械运动系统的传递函数。
(1)求图(a)的 (2)求图(b)的
(3)求图(c)的 (4)求图(c)的
2-16如图P2-4所示为一个带阻尼的质量弹簧系统，求其数学模型。
2-17 图P2-4所示为一齿轮传动系统。设此机构无间隙、无变形。
(1)列出以力矩Mr为输入量，转角为输出量的运动方程式，并求其传递函数。
(2)列出以力矩Mr为输入量，转角为输出量的运动方程式，并求出其传递函数。
2-18 图P2-6所示为一磁场控制的直流电动机。设工作时电枢电流不变，控制电压加在励磁绕组上，输出为电机位移，求传递函数。
2-19图P2-7所示为一用作放大器的直流发电机，原电机以恒定转速运行。试确定传递函数，假设不计发电机的电枢电感和电阻。
2-20 图P2-8所示为串联液位系统，求其数学模型。
2-21 一台生产过程设备是由液容为C1和C2的两个液箱组成，如图P2-9所示。图中为稳态液体流量,q1为液箱1输入流量对稳态值得微小变化，q2为液箱1到液箱2流量对稳态值得微小变化，q3为液箱2输出流量对稳态值得微小变化，为液箱1的稳态液面高度(m)，h1为液箱1液面高度对其稳态值的微小变化(m)， 为液箱2的稳态液面高度(m)，h2为液箱2液面高度对其稳态值的微小变化(m)，R1为液箱1输出管的液阻，R2为液箱2输出管的液阻。
(1)试确定以为输入量、为输出量时该液面系统的传递函数；
(2)试确定以为输入，以为输出时该液面系统的传递函数。（提示：流量(Q)=液高(H)/液阻(R)，液箱的液容等于液箱的截面面积，液阻(R)=液面差变化(h)/流量变化(q)。）
2-22 图P2-10所示为一个电加热器的示意图。该加热器的输入量为加热电压u1,输出量为加热器内的温度T0,qi为加到加热器的热量，q0为加热器向外散发的热量，Ti为加热器周围的温度。设加热器的热阻和热容已知，试求加热器的传递函数。
2-23热交换器如图P2-11所示，利用夹套中的蒸汽加热罐中的热体。设夹套中的蒸汽的温度为Ti；输入到罐中热体的流量为Q1，温度为T1；由罐内输出的热体的流量为Q2，温度为T2；罐内液体的体积为V，温度为T0(由于有搅拌作用，可以认为罐内液体的温度是均匀的)，并且假设T2=T0，Q2=Q1=Q(Q为液体的流量)。求当以夹套蒸汽温度的变化为输入量、以流出液体的温度变化为输出量时系统的传递函数(设流入液体的温度保持不变)。
2-24 已知一系列由如下方程组成，试绘制系统方框图，并求出闭环传递函数。
解：由以上四个方程式，可以得到以下四个子结构图
1．
X1(s)=Xr(s)W1(s)- W1(s)[ W7(s)- W8(s)]Xc(s)
2.
X2(s)= W2(s)[ X1(s)- W6(s)X3(s)]
3.
X3(s)=[ X2(s)- Xc(s)W5(s)] W3(s)
4.
Xc(s)=W4(s)X3(s)
将以上四个子框图按相同的信号线依次相连，可以得到整个系统的框图如下：
利用梅逊公式可以求出闭环传递函数为：
L11=－W1(s) W2(s) W3(s) W4(s)[ W7(s)- W8(s)]
L12=－W3(s) W4(s) W5(s)
L13=－W2(s) W3(s) W6(s)
L2=0
T1= W1(s)W2(s) W3(s) W4(s)
△ 1=1
△ =1+ W1(s) W2(s) W3(s) W4(s)[ W7(s)- W8(s)]+ W3(s) W4(s) W5(s)+ W2(s) W3(s) W6(s)
2-25 试分别化简图P2-12和图P2-13所示结构图，并求出相应的传递函数。
解：化简图P2-12如下：
继续化简如下：
所以：
解：化简图P2-12如下：
进一步化简如下：
所以：
2-26 求如图P2-14所示系统的传递函数，。
解：
1．求W1(s)=Xc(s)/Xr(s)的等效电路如下（主要利用线性电路叠加原理，令Xd=0）
上图可以化简为下图
由此得到传递函数为：
W1(s)=Xc(s)/Xr(s)=[W1W2]/[1-W2H2+W1W2H3]
2. 应用梅逊增益公式：
其中：，，
,,,
所以：
2-27 求如图P2-15所示系统的传递函数。
应用梅逊增益公式：
其中：
，，，，
，，，
所以：
2-28 求如图P2-16所示系统的闭环传递函数。
解：
将上述电路用复阻抗表示后，利用运算放大器反向放大电路的基本知识，即可求解如下：
由上图可以求出：
U1(s)=－[Z1/R0](Ur(s)+Uc(s))
U2(s)=－U1(s)/[R2C2s]
Uc(s)=－[R4/R3]U2(s)
根据以上三式可以得出系统结构图如下：
其中：Z1=R1//(1/C1s)=R1/[T1s+1] T1=R1C1
令：R2C2=T2 R1/R0=K10 R4/R3=K43
得到传递函数为：
WB(s)=Ur/Uc=－[K10K43]/[T2s(T1s+1)+ K10K43]
2-29 图P2-17所示为一位置随动系统，如果电机电枢电感很小可忽略不计，并且不计系统的负载和黏性摩擦，设，其中、分别为位置给定电位计及反馈电位计的转角，减速器的各齿轮的齿数以Ni表示之。试绘制系统的结构图并求系统的传递函数。
2-30 画出图P2-18所示结构图的信号流图，用梅逊增益公式来求传递函数，。
解：应用梅逊增益公式：
其中：， ，，，，，，，
所以：
其中：， ，，，，，
所以：
2-31 画出图P2-19所示系统的信号流图，并分别求出两个系统的传递函数，。
3-1 控制系统的时域如何定义？
3-2 系统的动态过程与系统的极点有什么对应关系？
3-3 系统的时间常数对其动态过程有何影响？
3-4 提高系统的阻尼比对系统有什么影响？
3-5 什么是主导极点？ 主导极点在系统分析中起什么作用？
3-6 系统的稳定的条件是什么？
3-7 系统的稳定性与什么有关？
3-8 系统的稳态误差与哪些因素有关？
3-9 如何减小系统的稳态误差？
3-10 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
试求： （1） 系统的单位阶跃响应及性能指标
（2） 输入量xr（t）= t 时，系统的输出响应；
（3） 输入量xr (t) 为单位脉冲函数时，系统的输出响应。
解：（1）
比较系数：得到 ，，
其中：
所以
其中： 所以
解（2）输入量xr（t）= t时，，这时；
，应用部分分式法
通过比较系数得到：，,,
所以：
所以：
解（3）当时，，这时，
所以
3-11 一单位反馈控制系统的开环传递函数为， 其单位阶跃响应曲线如图所示，图中的xm=1.25 tm =1.5s 。试确定系统参数 及 值。
解：因为
比较系数得到：，
由图得到： 得到
，所以
所以
3-12 一单位反馈控制系统的开环传递函数为。已知系统的 xr(t) = 1 (t) ,误差时间函数为 ,求 系统的阻尼比ξ、自然振荡角频率，系统的开环传递函数和闭环传递函数、系统的稳态误差。
解：单位反馈控制系统的结构图如下：
由此得到误差传递函数为：
因为输入为单位阶跃输入，所以
对取拉变得到
比较两个误差传函的系数可以得到：
系统的开环传递函数为
系统的闭环传递函数为
系统的稳态误差为：
1．
2．
3-13 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为， 试选择及τ 值以满足下列指标：
（1） 当 xr(t) =t时，系统的稳态误差（∞）≤0.02；
（2） 当xr（t）=1（t）时，系统的σ％≤30%，ts（5％）≤0.3s。
解：
1．时，由于该系统为1型系统，所以：
得出
2．因为要求当时，系统的，。
所以， 取
由 得出
因为，阻尼比越大，超调量越小。取
由
所以：
所以 取
因为 ，取 得到
当，时 满足即满足
所以，最后取，
3-14 已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为，试画出以为常数、ξ为变数时，系统特征方程式的根在s 平面上的分布轨迹。
3-15 一系统的动态结构图如图P3-2，求在不同的值下（例如，=1，=3，=7）系统的闭环极点、单位阶跃响应、动态性能指标及稳态误差。
解：该系统的特征方程为：
即
当=1时，系统的特征方程为：
，此时，系统的闭环极点为
系统开环传递函数为：
系统闭环传递函数为：
3-16 一闭环反馈控制系统的动态结构如图P3-3， （1）试求当σ%≤20％，ts（5%）=1.8s 时，系统的参数及τ值。 （2）求上述系统的位置稳态误差系数 、速度稳态误差系数Kv 、加速度稳态误差系数Ka 及其相应的稳态误差。
解：(1)将图P3-3的内部闭环反馈等效一个环节，如下图
由上图得到
根据系统性能指标的要求：，可以得出
当时，取
当时，
由 得到
由 得到
（2）由（1）得到系统的开环传递函数为：
所以：
对应的时
对应的时
对应的时
3-17 一系统的动态结构图如图， 试求（1）τ1 =0 ，τ2=0.1 时，系统的σ％，ts（5%）；
（2） τ1=0.1，τ2=0时，系统的σ％，ts（5%）；
（3） 比较上述两种校正情况下的动态性能指标及稳态性能。
解：
（1） τ1 =0 ，τ2=0.1 时系统框图如下：
进一步化简结构图如下：
与二阶系统标准传递函数比较得到
，，，
，
（2） 解（2）τ1 =0.1 ，τ2=0 时系统框图如下：
解上述系统输出表达式为：
3-18 如图P3-5中，Wg（s）为被控对象的传递函数，Wc（s）为调节器的传递函数。如果被控对象为，T1>T2，系统要求的指标为: 位置稳态误差为零，调节时间最短，超调量σ%≤4.3％，问下述三种调节器中哪一种能满足上述指标？ 其参数应具备什么条件？
(a);(b) ;(c).
解：三种调节器中，(b)调节器能够满足要求，即。
校正后的传递函数为
这时满足位置稳态误差为零。如果还要满足调节时间最短，超调量σ%≤4.3％，则应该使，此时传递函数为
应该使，此时为二阶最佳系统，超调量σ%=4.3％，调节时间为
3-19有闭环系统的特征方程式如下，试用劳斯判断系统的稳定性，并说明特征根在复平面上的分布。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解：（1）列劳斯表如下：
由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。
（2）列劳斯表如下：
由此得到系统不稳定，在s平面的右半部有两个根。
（3）列劳斯表如下：
由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。
（4）列劳斯表如下：
由此得到系统不稳定，在s平面的右半部有三个根。
（5）列劳斯表如下：
由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。
3-20 单位反馈系统的开环传递函数为 求使系统稳定的KK 值范围。
解：系统特征方程为：
即：
将最高项系数化为1得到
列劳斯表如下：
系统稳定的条件为劳斯表的第一列大于零，即
得出
得出
所以，系统稳定的取值范围为
3-21 已知系统的结构图如图P3-6所示，试用劳斯判据确定使系统稳定的Kf值范围。
解：该系统的特征方程为
列劳斯表如下：
根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。
所以得到系统稳定条件为
3-22 如果采用图P3-7所示系统，问τ取何值时，系统方能稳定？
解：该系统的特征方程为
列劳斯表如下：
根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。
所以得到系统稳定条件为
3-23 设单位反馈系统的开环传递函数为，要求闭环特征根的实部均小于-1，求K值应取的范围。
解：该系统的特征方程为
即
将上述方程的最高次项系数化为1
得到
令代入特征方程中，得到
列劳斯表如下：
由劳斯判据，系统稳定，劳斯表的第一列系数必须大于零。
所以，
，
即时，闭环特征根的实部均小于-1。
3-24 设有一单位反馈系统，如果其开环传递函数为
（1） ； （2）。 试求输入量为xr(t)=t和xr(t)=2+4t+5时系统的稳态误差。
解：（1）系统特征方程为：
列劳斯表如下：
由劳斯判据可知，该系统稳定。
当xr(t)=t时，稳态误差为：
xr(t)=2+4t+5时，稳态误差为：
解：（2）系统特征方程为：
列劳斯表如下：
由劳斯判据可知，该系统不稳定。
当xr(t)=t时，稳态误差为：
xr(t)=2+4t+5时，稳态误差为：
此时求出的稳态误差没有意义，因为系统不稳定。
3-25 有一单位反馈系统，系统的开环传递函数为。求当输入量为和时， 控制系统的稳态误差。
解：
当时，
当时，
此时，
这时，
比较系数：
解方程得到：
，，
则
显然。由于正弦函数的拉氏变换在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算系统在正弦函数作用下的稳态误差。
3-26 有一单位反馈系统，其开环传递函数为，求系统的动态误差系数，并求当输入量=1+t+ 1/2 时，稳态误差的时间函数 e（t）。
解：
利用综合除法得到：
动态位置误差系数
动态速度误差系数
动态加速度误差系数
3-27 一系统的结构图如图，并设，。当扰动量分别以作用于系统时,求系统的扰动稳态误差。
解：扰动误差的传递函数为：
所以：时
时
3-28 一复合控制系统的结构图如图P3-9所示，其中K1=2K3=1，T2=0.25s,K2=2. 试求：（1）输入量分别为xr(t)=1,xr(t)=t,xr(t)=1/2t 2时系统的稳态误差；
（2）系统的单位阶跃响应，及其。
解：
当K1=2K3=1，T2=0.25s,K2=2时
当xr(t)=1时，
此时
当xr(t)=t，
此时
当xr(t)=1/2t 2时，
此时
3-29 一复合控制系统如图P3-10所示，图中。如果系统由型提高为型系统，求a值及b值。
解：
将代入误差传递函数中，
如果系统由型提高为型系统，则当时，（其中为常数）
由此得到，，，
4-1 根轨迹法使用于哪类系统的分析?
4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹?
4-3 绘制根轨迹的依据是什么?
4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件?
4-5 系统开零环、极点对根轨迹形状有什么影响？
4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
(1)
(2)
(3)
解：第（1）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即 、
2． 终点：时，终止于开环零点，
3． 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为和
5． 分离点与会合点，利用公式
即：
解上列方程得到：，
根据以上结果画出根轨迹如下图：
解：第（2）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即 、、
2． 终点：时，终止于开环零点，
3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为和
5． 分离点与会合点，利用公式
6． 根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
根据以上结果画出根轨迹如下图：
解：第（3）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即 、、
2． 终点：时，终止于开环零点，
3． 根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为和
5． 分离点与会合点，利用公式
6． 根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
根据以上结果画出根轨迹如下图：
4-7 已知负反馈控制系统开环零、极点分布如图P4-1所示，试写出相应的开环传递函数并绘制概略根轨迹图。
图Ｐ４－１ 题４－７的系统开环零、极点分布
4-8 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解：第（1）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即 、
2． 终点：时，终止于开环零点，
3． 根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为
5． 分离点与会合点，利用公式
化简上式：
解上述一元二次方程得：
6.根轨迹的出射角和入射角
根据以上结果画出根轨迹如下图：
解：第（2）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即
、
2． 终点：时，终止于开环零点，该系统零点在无穷远处。
3． 根轨迹的条数，四条，四条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为
5． 分离点与会合点，利用公式
化简上式：
解上式：
6．根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
7.根轨迹的出射角和入射角
根据以上结果画出根轨迹如下图：
解：第（3）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即
、
2． 终点：时，终止于开环零点，
3． 根轨迹的条数，四条，一条趋于开环零点，另外三条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间为和
5． 根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
6．根轨迹的出射角和入射角
根据以上结果画出根轨迹如下图：
解：第（4）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即
、
2． 终点：时，终止于开环零点，该系统零点为
3． 根轨迹的条数，四条，一条趋于开环零点，另外三条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇（此处一定要仔细！！！），
为和
5． 分离点与会合点，利用公式
化简上式：
解上式，得到
6．根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
根据以上结果画出根轨迹如下图：
解：第（5）小题
由系统的开环传递函数得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即
2． 终点：时，终止于开环零点，该系统零点为
3． 根轨迹的条数，四条，一条趋于开环零点，另外三条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，
为和
5． 分离点与会合点，利用公式
解上式得：
6．根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
根据以上结果画出根轨迹如下图：
4-9负反馈控制系统的开环传递函数如下，绘制概略根轨迹，并求产生纯虚根的开环增益KK。
解：由系统的开环传递函数 得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即
2． 终点：时，终止于开环零点，该系统无开环零点
3． 根轨迹的条数，三条，三条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，
为和
5． 分离点与会合点，利用公式
用试探法做，得到
6．根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
7．系统特征方程为：
令代入上式，
令虚部和实部分别为零，得到和
所以和
系统的开环传递函数为
所以
根据以上结果画出根轨迹如下图：
4-10 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
求当K=4时，以T为参变量的根轨迹。
解：当时，系统特征方程如下：
将上述特征方程变形如下：
其中：
其中：
以为参数画根轨迹如下：
1． 起点：时（），起始于开环极点，即
2． 终点：时（），终止于开环零点，该系统开环零点为
，，
3． 根轨迹的条数，4条，一条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，
实轴上根轨迹区间为。
5． 分离点与会合点，利用公式
将上式化简如下：
用试探法做，得到
6．根轨迹的出射角和入射角
同理：
根据以上结果画出根轨迹如下图：
4-11 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
求当K=1/4时，以a为参变量的根轨迹。
解：系统闭环特征方程为：
系统的等效开环传函为
即以为参变量画该系统的根轨迹，其中
由系统的传函得知
1． 起点：时，起始于开环极点，即
2． 终点：时，终止于开环零点，该系统无零点
3． 根轨迹的条数，三条，三条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，
为和
5． 分离点与会合点，利用公式D’(s)N(s)-N’(s)D(s)=0其中
D（s）= s3+s2+0.25s N（s）=1
所以D’(s)N(s)-N’(s)D(s)= （3s2+2s+0.25）=0
解上述一元四次方程得：用试探法做，得到
6．根轨迹的渐进线
渐进线倾角为：
渐进线的交点为：
根据以上结果画出根轨迹如下图：
4-12 设系统结构图如图P4-12所示。为使闭环极点位于 试确定增益K和反馈系数Kh的值，并以计算得到的K、Kh值为基准，绘出以Kh为变量的根的轨迹。
图Ｐ４－２ 题４－１２的控制系统结构图
解：（1）系统开环传递函数为
，系统特征方程为：
即
因为闭环极点位于在根轨迹上，将代入系统特征方程中，
得到：
通过计算得到：，
解（2）当时，系统特征方程为：
系统的等效传递函数为
1． 起点：时，起始于开环极点，即
2． 终点：时，终止于开环零点，
3． 根轨迹的条数，两条，其中一条趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，
为
5． 分离点与会合点，利用公式
，即
6． 根轨迹的出射角
同理：
根据以上结果画出根轨迹如下图：
4-13 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
试用根轨迹法确定使闭环主导极点的阻尼比和自然震荡角频率时的Kg值。
解：当阻尼比和自然震荡角频率时，
根轨迹上点的坐标为
系统的特征方程为
即：
将代入特征方程中得到：
4-14 已知单位正反馈系统的开环传递函数为
试绘制其根轨迹。
4-15 已知系统开环传递函数为
试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况的根轨迹。
4-16 某单位反馈系统的开环传递函数为
(1)绘制Kg由0→∞变化的根轨迹。
(2)确定系统呈阻尼振荡动态相应的Kg值范围。
(3)求系统产生持续等幅振荡时的Kg值和振荡频率。
(4)求主导复数极点具有阻尼比为0.5时的Kg值。
解：（1）
1． 起点：时，起始于开环极点，即
2． 终点：时，终止于开环零点，本系统无零点。
3． 根轨迹的条数，三条，三条均趋于无穷远。
4． 实轴上的根轨迹区间右端开环零极点的个数之和为奇，
为和
5． 分离点与会合点，利用公式
，
根据以上结果画出根轨迹如下图：
解（2）系统特征方程为
即
将代入到特征方程中，得到
即
令代入到特征方程中，即
解方程得到：和即
所以当时，系统呈阻尼振荡动态。
解（3）当时系统产生持续等幅振荡，振荡频率为
解（4）求主导复数极点具有阻尼比为0.5时的Kg值
阻尼比为0.5时，令,因为阻尼比为0.5，所以
即，即即代入到系统特征方程中
解方程得到，
即
4-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为
(1)绘制Kg由0→∞变化的根轨迹。
(2)求产生重根和纯虚根时的Kg值。
4-18 设一单位反馈系统的开环传递函数为
(1)由所绘制的根轨迹图，说明对说有的Kg值(0
展开阅读全文
得力文库 - 分享文档赚钱的网站所有资源均是用户自行上传分享，仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权，请勿作他用。
