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.\ 目 录 一、高等数学 1 (一) 函数、极限、连续 1 (二) 一元函数微分学 5 (三)一元函数积分学 13 (四) 向量代数和空间解析几何 20 (五)多元函数微分学 29 (六)多元函数积分学 35 (七)无穷级数 40 (八)常微分方程 48 二、线性代数 53 (一) 行列式 53 (二)矩阵 54 (三) 向量 57 (四)线性方程组 60 (五)矩阵的特征值和特征向量 62 (六)二次型 63 三、概率论与数理统计 66 (一)随机事件和概率 66 (二)随机变量及其概率分布 70 (三)多维随机变量及其分布 72 (四)随机变量的数字特征 75 (五)大数定律和中心极限定理 78 (六)数理统计的基本概念 79 (七)参数估计 81 (八)假设检验 84 经常用到的初等数学公式 86 平面几何 91 一、高等数学 (一) 函数、极限、连续 考试内容 公式、定理、概念 函数和隐函数 函数：设有两个变量和，变量的定义域为，如果对于中的每一个值，按照一定的法则，变量有一个确定的值与之对应，则称变量为变量的函数，记作： 基本初等函数的性质及其图 形，初等函数，函数关系的建立： 基本初等函数包括五类函数: 1幂函数:; 2指数函数(且); 3对数函数:( 且); 4三角函数:如等; 5反三角函数:如 等. 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数. 数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限 1 2 3(保号定理) , 无穷小和无穷大的概念及其 关系，无穷小的性质及无穷小的比较 是同阶无穷小， 无穷小的性质 （1） 有限个无穷小的代数和为无穷小 （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小 （3） 无穷小乘以有界变量为无穷小 Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大 极限的四则运算 (1)； ； 极限存在的两个准 则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限： 1 2单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3两个重要极限： 重要公式： 4几个常用极限特例 函数连续的概念：函数间断 点的类 型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质 连续函数在闭区间上的性质： (1) (连续函数的有界性)设函数在上连续,则 在上有界,即常数，对任意的,恒有 . (2) (最值定理)设函数在上连续,则在上 至少取得最大值与最小值各一次,即使得: ； . (3) (介值定理)若函数在上连续,是介于与 (或最大值与最小值)之间的任一实数,则在 上至少一个,使得 (4) (零点定理或根的存在性定理)设函数在上连 续,且,则在内至少一个,使得 (二) 一元函数微分学 考试内容 对应公式、定理、概念 导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和 物理意义 1：（1） 或 （2） 2函数在处的左、右导数分别定义为： 左导数： 右导数： 函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和 法线 Th1: 函数在处可微在处可导 Th2: 若函数在点处可导，则在点处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导. Th3: 存在 导数和微分的四则运算，初等函数的导数， 四则运算法则:设函数，在点可导则 (1) (2) (3) 基本导数与微分表 (1) （常数） (2) (为实数) (3) 特例 (4) 特例 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分 法， 1反函数的运算法则: 设在点的某邻域内单调连 续，在点处可导且，则其反函数在点所对应的 处可导，并且有 2复合函数的运算法则:若在点可导,而 在对应点()可导,则复合函数在点可 导,且 3隐函数导数的求法一般有三种方法： (1)方程两边对求导，要记住是的函数，则的函数是 的复合函数.例如，，，等均是的复合函数. 对求导应按复合函数连锁法则做. (2)公式法.由知 ,其中，， 分别表示对和的偏导数 (3)利用微分形式不变性 高阶导数，一阶微分形式的不变性， 常用高阶导数公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6）莱布尼兹公式：若均阶可导，则 ，其中， 微分中值 定理，必达法则， 泰勒公式 Th1(费马定理)若函数满足条件： (1)函数在的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 或, (2) 在处可导,则有 Th2 (罗尔定理) 设函数满足条件： (1)在闭区间上连续； (2)在内可导，则在内一个，使 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数满足条件： (1)在上连续；(2)在内可导；则在内一个，使 Th4 (柯西中值定理) 设函数，满足条件： (1)在上连续；(2)在内可导且，均存在，且则在内一个，使 洛必达法则： 法则Ⅰ (型)设函数满足条件： ; 在的邻域内可导 (在处可除外)且;存在(或).则 法则 (型)设函数满足条件： ;一个,当 时,可导,且;存在(或).则 法则Ⅱ(型) 设函数满足条件： ; 在 的邻域内可 导(在处可除外)且;存在(或).则 同理法则(型)仿法则可写出 泰勒公式: 设函数在点处的某邻域内具有阶导 数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少 一个，使得 其中 称为在点处的阶泰勒余项.令，则阶泰勒公式 ……(1) 其中 ，在0与之间.(1)式称为麦克劳林公式 常用五种函数在处的泰勒公式 或 或 或 或 或 函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸性，拐点及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值， 1函数单调性的判断： Th1设函数在区间内可导，如果对，都有（或），则函数在内是单调增加的（或单调减少） Th2 （取极值的必要条件）设函数在处可导，且在处取极值，则. Th3 （取极值的第一充分条件）设函数在的某一邻域内可微，且（或在处连续，但不存在.） (1)若当经过时，由“+”变“-”，则为极大值； (2)若当经过时，由“-”变“+”，则为极小值； (3)若经过的两侧不变号，则不是极值. Th4 (取极值的第二充分条件)设在点处有，且，则 当时，为极大值； 当时，为极小值. 注：如果，此方法失效. 2渐近线的求法： (1)水平渐近线 若，或，则 称为函数的水平渐近线. (2)铅直渐近线 若，或，则 称为的铅直渐近线. (3)斜渐近线 若，则 称为的斜渐近线 3函数凹凸性的判断： Th1 (凹凸性的判别定理）若在I上（或）， 则在I上是凸的（或凹的）. Th2 (拐点的判别定理1)若在处，（或不存 在），当变动经过时，变号，则为拐点. Th3 (拐点的判别定理2)设在点的某邻域内有三阶导数，且，，则为拐点 弧微分，曲率的概念，曲率半径 1.弧微分： 2.曲率：曲线在点处的曲率 对于参数方程 3.曲率半径：曲线在点处的曲率与曲线在点处的曲率半径有如下关系： (三)一元函数积分学 考试内容 对应公式、定理、概念 原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质 基本性质 1 （为常数） 2 3求导： 或微分： 4或 （是任意常数） 基本积分 公式 （） 重要公式 定积分的概念和基本性质，定积分中值定理 1． 定积分的基本性质 积分上限的函数及其导数，牛顿——莱布尼兹公式 Th1 Th2 Th3 的原函数，则 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 1不定积分： 分部积分法：选择u，dv的原则：积分容易者选作dv，求导简单者选为u 换元积分法： 2． 定积分 换元法: ，则 分部积分公式 3． 定积分不等式证明中常用的不等式 (3)柯西不等式： 有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应 用 1． 三角函数代换 函数含根式 所作代换 三角形示意图 有理函数积分 （） 4． 广义积分 （1） 无穷限的广义积分（无穷积分） （2） 无界函数的广义积分（瑕积分） (四) 向量代数和空间解析几何 考试内容 对应公式、定理、概念 向量的概念，向量的线性运算， 1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量. 2.向量的模：向量的大小.记为. 3.向量的坐标表示：若向量用坐标表示 ，则 4向量的运算法则： Ⅰ加减运算 设有矢量，，则 Ⅱ.数乘运算 数乘运算矢量与一数量之积， 设，则 向量的数量积和向量积，向量的混合积， 1矢量的数积（点积，内积）： 矢量与的数量积 设，，则 2矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量与，若一个矢量，满足如下条件 （1）； （2），即垂直于，所确定的平面； （3），，成右手系.则称矢量为矢量与的矢量积，记. 设，则 3混合积：设有三个矢量，若先作，的叉积，再与作点积，则这样的数积称为矢量，，的混合积，记为，即 设，，， 则 两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦， 1向量之间的位置关系及结论 设，， （1）； （2）； 其中之中有一个为“0”，如，应理解为； （3），不共线不全为零的数使； （4）矢量与的夹角，可由下式求出 ； （5），，共面不全为零的数，使 或者 2单位向量：模为1的向量. 向量的单位向量记作， 3向量的方向余弦： 其中为向量与各坐标轴正向的夹角. 4单位向量的方向余弦：显然，且有 曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离 1平面方程 (1)一般式方程 ，法矢量，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面轴 (2)平面的点法式方程 为平面上已知点，为法矢量 (3)三点式方程 ,,为平面上的三个点 (4)截距式方程 ，分别为平面上坐标轴上 的截距，即平面通过三点 2直线方程 一般式方程(两平面交线)： 平面与平面的法矢量分别为， ， 直线的方向矢量为 (2)标准式方程 为直线上已知点， 为直线的方向矢量 (3)两点式方程 其中，为直线上的两点 (4)参数式方程 为直线上已知 点，为直线的方向矢量 3平面间的关系 设有两个平面：平面：平面： (1)平面平面 (2)平面平面 (3)平面与平面的夹角，由下式确定 4平面与直线间关系 直线 平面： (1) (2) (3)与的夹角，由下式确定 5直线间关系 设有两直线：直线 直线 (1) (2) (3)直线与的夹角，由下式确定 6点到平面的距离：到平面 的距离为 7点到直线的距离：到直线 距离为 球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程， 常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 准线为各种形式的柱面方程的求法 (1) 准线为,母线轴的柱面方程为 , 准线为,母线轴的柱面方程为 , 准线为,母线轴的柱面方程为 . (2) 准线为,母线的方向矢量为的柱面方程的求法 首先,在准线上任取一点,则过点的母线方程为 其中为母线上任一点的流动坐标,消去方程组 中的便得所求的柱面方程 常见的柱面方程 名称 方程 图形 圆柱面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 标准二次方程及其图形 名称 方程 图形 椭球面 (均为正数) 单叶双曲面 (均为正数) 双叶双曲面 (均为正数) 椭圆的抛物面 (为正数) 双曲抛物面 (又名马鞍面) (均为正数) 二次锥面 (为正数) (五)多元函数微分学 考试内容 对应公式、定理、概念 多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念， 二元函数连续，可导（两偏导存在）与可微三者的关系如下： 可导可微函数连续“”表示可推出 用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证： 有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件， 基本原理 多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度， 1复合函数微分法 注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字1，2，3……表示更简洁. 2隐函数微分法 来求解 方向导数和梯度 Th1设在处可微，则在点沿任意方向 存在方向导数且 在平面上除了用方向角表示外也可用极角表示： ，此时相应的方向导 数的计算公式为 Th2设三元函数在处可微，则 在点沿任意方向 存在方向导数且有 梯度：在点的方向导数计算公式可改写成 这里向量成为 在点的梯度(向量) 即沿梯度方向时，方 向导数取最大值 空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线， 1． 曲线的切线及法平面方程 法线方程： 2． 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用 1多元函数的极值 定义： 若对于该邻域 内异于 (极大值) 2无条件极值 解题程序： ； 3条件极值（拉格朗日乘数法） 解题程序: (六)多元函数积分学 考试内容 对应公式、定理、概念 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 1二重积分： 几何意义： 2三重积分： 物理意义： 3性质(只叙述二重积分的性质，三重积分类似) (1) (2) (3)的构成子域且任两个子域没有重迭部分 (5)（比较定理） (8)二重积分的对称性原理 这个性质的几何意义见图(a)、(b) 注：注意到二重积分积分域D的对称性及被积函数的奇偶性，一方面可减少计算量，另一方面可避免出差错，要特别注意的是仅当积分域D的对称性与被积函数的奇偶性两者兼得时才能用性质8. 两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件， 1平面曲线积分与路径无关的四个等价条件 设函数在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则与路径无关 为一简单分段光滑封闭曲线 存在函数使且 2格林公式：设平面上的有界闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在有连续的一阶偏导数，则有 或者 二元函数全微分的原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯公式，斯托克斯 公式， 1高斯(Gauss)公式 设是空间中的有界闭区域，由分块光滑的曲面所围成，函数在由连续的一阶偏导数，则 这里是的整个边界的外侧(即取外法向)，是上点处的外法向量的方向余弦. 2斯托克斯公式 设为分段光滑的又向闭曲线，是以为边界的分块光滑有向曲面，的正向与的侧(即法向量的指向)符合右手法则，函数在包含的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有 或 散度和旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用 1散度的计算公式 设均可导，则在点处的散度为 2旋度的计算公式 设有矢量场，其中均有连续的一阶偏导数，则旋度为： (七)无穷级数 考试内容 对应公式、定理、概念 常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件 1级数的性质： 注：添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性. 设级数收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和 几何级数与p级数以及他们的收敛性，正项级数收敛性的判别法， 正项级数（）的判敛法 (2) 两个常用的比较级数 (3)比值判别法（达朗贝尔准则）（适用于通项中含有n！或关于n的若干连乘积形式） 交错级数与莱布尼兹定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛， 1． 交错级数 的判敛法 莱布尼兹准则： 则交错级数收敛，其和其n项余和的绝对值 函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径，收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数， 1幂级数： 2． 函数项级数收敛域的求法步骤： 幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等幂级数展开式 1幂级数的四则运算性质： (1)且在（-R，R） 内绝对收敛 (2) (3) 利用多项式的长除法可得： 2幂级数的分析性质： (1) (2) (3) 3函数的幂级数展开 泰勒级数 4常见的幂级数展开式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (随的不同而不同，但在(-1，1)总有意义) 函数的傅立叶系数与傅立叶级数，狄利克雷定理，函数在上的傅立叶级数 2 3 函数在上的正弦级数与余弦级数. 1为上的非周期函数，令： 则（余弦级数），其中：（n=0，1，2，……） 2为上的非周期函数，令： 则除x=0外在区间上 为奇函数则（正弦级数），其中： （n=1，2，……） (八)常微分方程 考试内容 对应公式、定理、概念 常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程 1常微分方程 含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的方程式称微分方程，而当未知函数是一元函数时称为常微分方程. 2可分离变量方程 解法：两边同除，得 奇次微分方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，全微分方程， 1齐次方程 解法：令，则，于是， 原方程 2可化为齐次型的方程 解法：(1)当时 属于(2) (2)．即则 令，则属于（1） (3)．不全为0 解方程组求交点 令则原方程属于（2） 3一阶线性方程 解法：用常数变易法求 (1)求对应齐次方程的通解 (2)令原方程的解为 (3)代入原方程整理得 (4)原方程通解 4贝努里方程，其中 解法：令，则方程，属于3 5全微分方程为全微分方程 .通解为 可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理 注：这里只限于讨论二阶线性方程，其结论可推广到更高阶的方程，二阶线性方程的一般形式为 (8.1)其中均为连续函数，当右端项时，称为二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程. 解的性质与结构(以下性质可推广到任意高阶的线性方程)分以下几种： 1若为齐次方程 (8.2)的两个特解，则其线性组合仍为(8.2)的解，特别地，若线性无关，则(8.2)的通解为 2设为非线性方程(8.1)的两个特解，则其差 为相应齐次方程(8.2)的特解 3设为非齐次方程(8.1)的一个特解，为齐次方程(8.2)的任意特解，则其和为(8.1)的解，特别地，若为(8.2)两个线性无关的特解，则(8.1)的通解为 ，其中为任意常数. 二阶常系数奇次线性微分方程，高于二阶的某些常系数奇次线性微分方程 1二阶常系数线性齐次方程 (1) 其中均为常数 解法：特征方程： （I）当为相异的特征根时，方程(1)通解为 （II）当时，通解为 （III）当（复根）时，通解为 2 阶常系数齐次线性方程 此种方程的一般形式为 (＊)，其中 为常数，相应的特征方程为 特征根与通解的关系同二阶方程的情形相类似，具体结果为： (1)若是个相异实根，则方程(＊)的通解为 (2)若为特征方程的重实根，则(＊)的通解中含有： (3)若为特征方程的重共轭复根，则(＊)的通解中含有： 由于我们不能求出一般的三次以上代数方程的根，也就是说对于三次以上的特征方程一般不能得到齐特征根，自然也就不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程的通解，能够求出的只是某些特殊情形 简单的二阶常系数非奇次线性微分方程，欧拉方程，微分方程简单应用 1二阶常系数线性非齐次方程 (2)其中均为常数 解法：通解的求法程序 (1)．求对应齐次方程的通解 (2)．求出(2)的特解 (3)．方程(2)的通解 方程(2)特解的求法有三种：微分算子法、常数变易法、 待定系数法. 2形如的方程成为欧拉方程. 二、线性代数 (一) 行列式 考试内容 对应公式、定理、概念 行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理 行列式按行（列）展开定理 (1) 或 即 其中 (2)设为阶方阵，则 但不一定成立 (4) 但 (6)范德蒙行列式 设A是n阶方阵，是A的n个特征值，则 (二)矩阵 考试内容 对应公式、定理、概念 矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法， 矩阵：称为矩阵，简记为则称是阶矩阵或阶方阵. 矩阵的线性运算 1矩阵的加法 设是两个矩阵，则 矩阵称为矩阵 与的和，记为 2矩阵的数乘 设是矩阵，是一个常数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记为. 3矩阵的乘法 设是矩阵，是矩阵，那么矩阵，其中 称为的乘 积，记为 方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵， 1三者之间的关系 但 不一定成立， ， 但不一定成立 2有关A*的结论 3)若可逆，则 4)若为阶方阵，则 3有关的结论 矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算 1有关矩阵秩的结论 1）秩r（A）=行秩=列秩； 2） 3）； 4） 5）初等变换不改变矩阵的秩 6）特别若 则 7）若存在 若存在 若 若 8）只有零解 2分块求逆公式 ； ； ； 这里A，B均为可逆方阵 (三) 向量 考试内容 对应公式、定理、概念 向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线性无关 1有关向量组的线性表示 (1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)线性无关，，线性相关可以由惟一线性表示. (3)可以由线性表示 ） 2有关向量组的线性相关性 (1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关. (2) ① n个n维向量 n个n维向量线性相关 ② n+1个n维向量线性相关. ③若线性无关，则添加分量后仍线性无关； 或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关 向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩 1有关向量组的线性表示 (1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)线性无关，，线性相关 可以由惟一线性表示. (3)可以由线性表示 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及相关概念 1设，则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为： (1)若，则的行向量组线性无关. (2)若，则的行向量组线性相关. (3)若，则的列向量组线性无关. (4)若，则的列向量组线性相关 n维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵 1基变换公式及过渡矩阵 若与是向量空间的两组基，则基变换公式为 其中是可逆矩阵，称为由基到基的过渡矩阵 2坐标变换公式 若向量在基与基的坐标分别是 ，即 ，则向量坐标 变换公式为 其中是从基到基的过渡矩阵 向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法 内积： Schmidt正交化 若线性无关，则可构造使其两两正 交，且仅是的线性组合，再把 单位化，记，则是规范正交向量组.其中 ， ………………………………… 规范正交基，正交矩阵及其性质 1正交基及规范正交基 向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基 (四)线性方程组 考试内容 对应公式、定理、概念 线性方程组的克莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要条件 1克莱姆法则 线性方程组，如果系数行列式，则方程组有唯一解 ，其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式. 2 n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解，一般地， 只有零解. 非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构 1设A为矩阵，若，则对而言必有从而有解. 2设为的解，则当时仍为的解；但当时，则为的解.特别为的解；为的解. 3非齐次线性方程组无解不能由的列向量线性表示. 奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解. 1齐次方程组恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系. 2 是的基础解系，即 (1) 是的解； (2) 线性无关； (3) 的任一解都可以由线性表出. 是的通解，其中是任意常数. (五)矩阵的特征值和特征向量 考试内容 对应公式、定理、概念 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质， 1设是的一个特征值，则 有一个特征值分别为 且对应特征向量相同（ 例外）. 2若为的n个特征值，则 从而没有特征值. 3设为的s个特征值，对应特征向量为 ，若 则 相似变换、相似矩阵的概念及性质， 1若，则 (1) (2) (3)对成立 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵， 1设为n阶方阵，则可对角化对每个重根特征值，有 2设可对角化，则由有，从而 3重要结论 (1)若，则. (2)若，则，其中为关于阶方阵的多项式. (3)若为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩() 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵 1相似矩阵：设为两个阶方阵，如果存在一个可逆矩阵，使得成立，则称矩阵相似，记为. 2相似矩阵的性质 如果则有 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (六)二次型 考试内容 对应公式、定理、概念 二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩 1个变量的二次齐次函数 ，其中，称为元二次型，简称二次型. 若令 这二次型可改写成矩阵 向量形式.其中称为二次型矩阵，因为，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵的秩称为二次型的秩. 惯性定 理，二次 型的标准 形和规范形 1惯性定理 对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理. 2标准形 二次型经过合同变换化为称为 的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由唯一确定. 3规范形 任一实二次型都可经过合同变换化为规范形，其中的秩，为正惯性指数，为负惯性指数，且规范型唯一. 用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定 性 1设正定正定；A可逆；，且 2 ，B正定A+B正定，但AB，BA不一定正定 3 A正定 A的各阶顺序主子式全大于零 A的所有特征值大于零 A的正惯性指数为n 可逆阵P使 存在正交矩阵Q，使 其中正定正定； 可逆；，且 三、概率论与数理统计 (一)随机事件和概率 考试内容 对应概念、定理、公式 随机事件与样本空间，事件的关系与运算，完全事件组 1事件的关系与运算 (1)子事件：，若A发生，则B发生. (2)相等事件：A=B，即，且. (3)和事件：（或A+B），A与B中至少有一个发生. (4)差事件：A-B，A发生但B不发生. (5)积事件：（或AB），A与B同时发生. (6)互斥事件（互不相容）：=. (7)互逆事件（对立事件）： 2运算律： (1)交换律： (2)结合律：； (3)分配律： 3德摩根律： 4完全事件组: 两两互斥，且和事件为必然事 件，即 概率的概念，概率的基本性质，古典概率，几何型概率 1概率：事件发生的可能性大小的度量，其严格定义如下： 概率为定义在事件集合上的满足下面3个条件的函数： (1)对任何事件A， (2)对必然事件， (3)对 2概率的基本性质 (1) (2) (3)特别， 当时，且； (4)若两两互斥，则 3古典型概率: 实验的所有结果只有有限个， 且每个结果发生的可能性相同，其概率计算公式： 4几何型概率: 样本空间为欧氏空间中的一个区域， 且每个样本点的出现具有等可能性，其概率计算公式： 概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验 1概率的基本公式: (1)条件概率: (2)全概率公式： (3) Bayes公式： 注：上述公式中事件的个数可为可列个. (4)乘法公式： 2事件的独立性 (1)A与B相互独立 (2)A，B，C两两独立 (3)A，B，C相互独立 3独立重复试验: 将某试验独立重复n次，若每次实验中事 件A发生的概率为p，则n次试验中A发生k次的概率为： 4重要公式与结论 (5)条件概率满足概率的所有性质， 例如：. (6)若相互独立，则 (7)互斥、互逆与独立性之间的关系： A与B互逆A与B互斥，但反之不成立，A与B互 斥（或互逆）且均非零概率事件A与B不独立. (8)若相互独立，则与 也相互独立，其中分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立. (二)随机变量及其概率分布 考试内容 对应公式、概念、定理 随机变量，随机变量的分部函数的概念及其性质 1随机变量及概率分布: 取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律 2分布函数的概念与性质 定义： 性质：(1) (2)单调不减 (3)右连续 (4) 离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度性质 1离散型随机变量的概率分布 2连续型随机变量的概率密度 概率密度非负可积，且 (1) (2) (3) 常见随机变量的概率分布，随机变量函数的概率分布 1常见分布 (1) 0-1分布： (2) 二项分布： (3) Poisson分布： (4) 均匀分布U（a，b）： (5) 正态分布 (6)指数分布 (7)几何分布 (8)超几何分布 2随机变量函数的概率分布 (1)离散型：则 (2)连续型：则 ， 3重要公式与结论 (5)离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数. (6)存在既非离散也非连续型随机变量. (三)多维随机变量及其分布 考试内容 对应公式、概念、定理 多维随机变量及其分布，二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 1二维随机变量及其联合分布 由两个随机变量构成的随机向量（X，Y）， 联合分布为 2二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分 布(1)联合概率分布律 (2) 边缘分布律 (3) 条件分布律 二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 1联合概率密度 (1) (2) 2分布函数： 3边缘概率密度： 4条件概率密度： 随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布 1常见二维随机变量的联合分布 (1)二维均匀分布： , (2)二维正态分布： 2随机变量的独立性和相关性 X和Y的相互独立， X和Y的相关性：相关系数时，称X和Y不相关， 否则称X和Y相关 两个及两个以上随机变量简单函数的分布 1两个随机变量简单函数的概率分布 (1)离散型： (2)连续型： ， 2重要公式与结论 (1) 边缘密度公式： (2) (3)若（X，Y）服从二维正态分布则有 ① ②X与Y相互独立，即X与Y不相关. ③ ④X关于Y=y的条件分布为： ⑤Y关于X=x的条件分布为： (4)若X与Y独立，且分别服从 则 (5)若X与Y相互独立，为连续函数， 则也相互独立. (四)随机变量的数字特征 考试内容 对应概念、定义、定理、公式 随机变量的数学期望（均值）、方差和标准差及其