高级中学数学数列压轴题练习进步(江苏)及详解.doc

,. 高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解 1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且•, (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)数列满足, ①求数列的通项公式; ②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由. 解:(I)设数列的公差为d,则 由•,,得, 计算得出或(舍去). ; (Ⅱ)①,, , , 即,,,, 累加得:, 也符合上式. 故,. ②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列, 则 又,,, ,即, 化简得: 当,即时,,(舍去); 当,即时,,符合题意. 存在正整数,,使得,,成等差数列. 解析 (Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; (Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式; ②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案. 2.在数列中,已知, (1)求证:数列为等比数列; (2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围. 解:(1)证明:, 又, ,, 故, 是以3为首项,公比为3的等比数列 (2)由(1)知道,, 若为数列中的最小项,则对有恒成立, 即对恒成立 当时,有; 当时,有⇒; 当时,恒成立, 对恒成立. 令,则对恒成立, 在时为单调递增数列. ,即 综上, 解析 (1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; (2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围, 当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围. 3.在数列中,已知,,,设为的前n项和. (1)求证:数列是等差数列; (2)求; (3)是否存在正整数p,q,,使,,成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由. (1)证明:由,, 得到, 则 又, , 数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; (2)由(1)可以推知:, 所以,, 所以,① ,② ①-②,得 , , , 所以 (3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列. 则, 即 因为当时,, 所以数列单调递减. 又, 所以且q至少为2, 所以, ①当时,, 又, 所以,等式不成立. ②当时,, 所以 所以, 所以,(数列单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3. 解析 (1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; (2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求; (3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值. 4.已知n为正整数,数列满足,,设数列满足 (1)求证:数列为等比数列; (2)若数列是等差数列,求实数t的值; (3)若数列是等差数列,前n项和为,对任意的,均存在,使得成立,求满足条件的所有整数的值. (1)证明:数列满足,, •,•, 数列为等比数列,其首项为,公比为2; (2)解:由(1)可得:•, , 数列是等差数列,, , 计算得出或12. 时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列. 时,,,不是关于n的一次函数, 因此数列不是等差数列. 综上可得; (3)解:由(2)得, 对任意的,均存在,使得成立, 即有••, 化简可得, 当,,,对任意的,符合题意; 当,,当时,, 对任意的,不符合题意. 综上可得,当,,对任意的,均存在, 使得成立. 解析 (1)根据题意整理可得,•,再由等比数列的定义即可得证; (2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值. 5.已知常数,数列满足, (1)若,, ①求的值; ②求数列的前n项和; (2)若数列中存在三项,,依次成等差数列,求的取值范围. 解:(1)①, , , , ②,, 当时,, 当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列, 数列的前n项和,, 显然当时,上式也成立, ; (2), ,即单调递增. (i)当时,有,于是, , 若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 即 ,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. 当时,有.此时 于是当时,.从而 若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 同(i)可以知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾. 故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. 当时,有 于是 此时数列中存在三项,,依次成等差数列. 综上可得: 解析 (1)①,可得,同理可得, ②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出 (2),可得,即单调递增. (i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在. 当时,有.此时.于是当时,.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在. 当时,有.于是.即可得出结论. 6.已知两个无穷数列和的前n项和分别为,,,,对任意的,都有 (1)求数列的通项公式; (2)若为等差数列,对任意的,都有.证明:; (3)若为等比数列,,,求满足的n值. 解:(1)由,得, 即,所以 由,,可以知道 所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列. 故的通项公式为, (2)证法一:设数列的公差为d, 则, 由(1)知, 因为,所以, 即恒成立, 所以,即, 又由,得, 所以 所以,得证. 证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得, 则,即, 因为,所以 所以, 因为,所以存在,当时,恒成立. 这与“对任意的,都有”矛盾! 所以,得证. (3)由(1)知,.因为为等比数列, 且,, 所以是以1为首项,3为公比的等比数列. 所以, 则, 因为,所以,所以 而,所以,即 当,2时,式成立; 当时,设, 则, 所以, 故满足条件的n的值为1和2. 解析 (1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求; (2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证; 方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证; (3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值. 7.已知数列,都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列 (1)设数列,分别为等差、等比数列,若,,,求; (2)设的首项为1,各项为正整数,,若新数列是等差数列,求数列的前n项和; (3)设是不小于2的正整数),,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增, 所以,, 所以,, 所以, 因为,,, (2)设等差数列的公差为d,又,且, 所以,所以 因为是中的项,所以设,即 当时,计算得出,不满足各项为正整数; 当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以; 当时,,此时,只需取, 由,得,是奇数,是正偶数,m有正整数解, 所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以 综上所述,数列的前n项和,或 (3)存在等差数列,只需首项,公差 下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有, 即成立. 由, 所以首项,公差的等差数列符合题意 解析 (1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,,,可得,,利用通项公式即可得出. (2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出. (3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出. 8.对于数列,称(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,,都有,则称数列为“趋稳数列”. (1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围; (2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”; (3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,,都有,试计算:. 解:(1)根据题意可得, 即,两边平方可得, 计算得出; (2)证明:由已知,设, 因且, 故对任意的,,都有, ,, 因, ,,,,, , , , 即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”; (3)当时, 当时,, 同理,, 因, , 即, 所以或 所以或 因为,且,所以,从而, 所以, . 解析 (1)由新定义可得,解不等式可得x的范围; (2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证; (3)由任意,,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值. 9.已知首项为1的正项数列{an}满足+＜an+1an，n∈N*. （1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围； （2）设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}前n项的和，若Sn＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围； （3）若a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak（k≥3）的公差. 解：（1）由题意，an＜an+1＜2an， ∴＜x＜3, ＜x＜2x， ∴x∈（2，3）. （2）∵an＜an+1＜2an，且数列{an}是公比为q的等比数列，a1=1， ∴qn-1＜qn＜2qn-1， ∴qn-1(q-)＞0，qn-1(q-2)＜0， ∴q∈（，1）. ∵Sn＜Sn+1＜2Sn，当q=1时，S2=2S1，不满足题意， 当q≠1时，＜＜2•， ∴①当q∈（，1）时， ，即， ∴q∈（，1）. ②当q∈（1，2）时，，即，无解， ∴q∈（，1）. （3）设数列a1，a2，…，ak（k≥3）的公差为d. ∵an＜an+1＜2an，且数列a1，a2，…，an成等差数列， ∴a1=1， ∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1， ∴， ∴d∈（-，1）. ∵a1+a2+…+ak=120， ∴Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120， ∴d=， ∴∈（-，1）， ∴k∈（15，239），k∈N*， ∴k的最小值为16，此时公差d=. 解析 【解题方法提示】 分析题意，对于（1），由已知结合完全平方公式可得an＜an+1＜2an，由此可得到关于a2，a3，a4的大小关系，据此列式可解得x的取值范围； 根据an＜an+1＜2an，以及等比数列的通项公式可得q∈（，1），再结合Sn＜Sn+1＜2Sn以及等比数列的前n项和公式分类讨论可得q的取值范围； 设公差为d，根据an＜an+1＜2an，以及等差数列的通项公式可得d∈（-，1），然后根据等差数列的前n项和公式结合题意可得d=，由此可解得k的取值范围，进而得到k的最小值和d的值.