高级中学概率与统计练习情况总结复习资料学习知识资料点与题型.doc

概率与统计知识点与题型 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念： （1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件； （4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； （4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生 1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）= 3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念： （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P（A）=； （1） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等． 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. … … P … … 有性质①； ②. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（np），其中n，p为参数，并记. ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列. 1 2 3 … k … P q qp … … 我们称ξ服从几何分布，并记，其中 5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为. ⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … … P … … 则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量的数学期望： ①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ξ 0 1 P q p ⑵单点分布：其分布列为：. ⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） ⑸几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质. ⑴随机变量的方差.（a、b均为常数） ξ 0 1 P q p ⑵单点分布： 其分布列为 ⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： ⑸几何分布： 5. 期望与方差的关系. ⑴如果和都存在，则 ⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则 ⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）. 三、正态分布. 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：. ⑶正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线对称. ③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是. 注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通 常用表示，且有. 习题 1．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 （ ） A． B． C． D． 2．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概 率是 （） A． B. C. D. 3．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是,那么至少有1人解对的概率 是 （） A. B. C. D. 4．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率 是 () A. B. C. D. 5．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和 为偶数的概率是 （ ） A、 B、 C、 D、 6．有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名 女生的概率是 （） A． B． C． D． 7．已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中所有的球除颜色 外完全相同）．现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再 从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的 概率等于 （） A． B． C． D． C9 2/C10 3 乘以C9 2/C10 3 8．已知集合A={12，14，16，18，20}，B={11，13，15，17，19}，在A中任取一个元素 用ai(i=1，2，3，4，5)表示，在B中任取一个元素用bj(j=1，2，3，4，5)表示，则 所取两数满足ai>bI的概率为（） A、 B、 C、 D、 9．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随 机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）直径有5个 A. B. C. D. 10．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽 出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 11．甲、乙独立地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的 概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（ ） A、0.48 B、0.52 C、0.8 D、0.92 12.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是___________ 13.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是_____________ 14.某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______________ 15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示： 年降水量/mm [ 100, 150 ) [ 150, 200 ) [ 200, 250 ) [ 250, 300 ] 概率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在 [ 200，300 ] （m,m）范围内的概率是___________ 16、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率是_________。 17、有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为_______ 18、在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为_____ 19．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8． （1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率； （2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率． 20．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为 ，且各道工序互不影响 （1）求该种零件的合格率 （2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率 （3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率 （用最简分数表示结果） 21．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下： ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 则比较两名工人的技术水平的高低为 . 思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小. . 22. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率； （Ⅱ）求的分布列及期望． 参考答案： 1-5、BDDBC 6-11、CBBBCD 12. 　　13.　　　14.　　　15.　0.25 16、 17、 18、 19：解：设甲投中的事件记为A，乙投中的事件记为B， （1）所求事件的概率为： P=P（A）+P（B）+P（AB） =0.70.2+0.30.8+0.70.8 =0.94． （2）所求事件的概率为： P=C0.720.3C0.80.22=0．042336． 20：解：（1）该种零件合格率为 （2）该种零件的合格率为，则不合格率为，从加工好的零件中任意取3个， 至少取到2件合格品的概率 （3）恰好连续2次抽到合格品的概率 21：解：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为： ， ； 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为： ， 由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定. 小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度 22：解（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ， ． （Ⅱ）的可能取值为元，元，元． ， ， ． 的分布列为 （元）．