高观点小的中学数学必做课后复习.doc

.- 专题三 学号： 姓名： 1.用两种方法求下列函数的极值 3.有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息。如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇。问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的所有顾客都能听到。 解：顾客人数为n=1,2时，已知条件无法使用，因此考虑从n=3开始： 当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人离开时再播。可见，第一次广播应该在第一个顾客即将离开商场之前。第一次开播时，第2,3位顾客可能到了，也可能未到，考虑最好的情况，他们还未进来或者未全进来，那么第二次开播应该在第三个顾客进来之后。而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或者在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定能听到广播。所以，至少播2次就可以了。 这个对任意的n》3也成立。设：第一个离去的顾客为A，最后一个进去的顾客为B，若按照上述方法广播2次之后，仍有顾客C没听见，则C必须在A离去之后才进来，且在B进来之前就离去，于是C与A、B均未遇到。这与已知条件矛盾。所以商场至少应该广播2次，当天顾客都可以听到。 4．解不等式 专题四 学号： 姓名： １、用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题： （１）过ABC的顶点C做一条直线，与边AB以及中线AD分别交于F及E，求证AE:ED=2AF:FB 证明１：（初等几何）过B做CF//BH,并延长AD交HB于点G。 因为CD=DB，易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG；由平行线分线段成比例，则AE：EG=AF：FB，又ＥＧ＝２ＥＤ，所以ＡＥ：２ＥＤ＝AF：FB，即AE:ED=2AF:FB。 证明２（仿射变换）建立仿射坐标系：Ａ（０,０），Ｂ（ｂ，０），C（0，c）则D（b/2,c/2），下面设CF：y=kx+c，分别求E和F的坐标。 因为AB：y=0，从而得到F（-c/k,0），AD：cx-by=0，与CF联立，得 E（bc/(c-kb),c^2/(c-kb)） AF：FB=-c/k（（b+c/k）=-c/(kb+c),AE:ED =bc/(c-kb):[b/2-bc(c-kb)]=-2c/(kb+c)） 所以，AE:ED=2AF:FB （２）（梅耐劳斯定理）设L，N，M分别在ABC的边AB,AC,BC(或延长线)上，求证：L，N，M三点共线的充要条件是 证明：如图，建立仿射坐标系：以BC为x轴，以BA为y轴，B（0,0），C（a，0），A（0，b）， ，则直线AC的方程为：， （３）已知ABC中，Ｄ是BC边上的中点，G是AD上的任一点，连接BG并延长交AC于E，连接并延长交ＤＧ，ＡＢ于Ｆ，求证ＦＥ／／ＢＣ 证明：如图，延长ＡＤ至Ｋ使得ＤＧ＝ＤＫ， 由于ＢＤ＝ＤＣ，所以四边形ＢＫＣＧ为平行四边形，所以进一步得到ＦＧ／／ＢＫ，ＫＣ／／ＧＥ，在ＡＢＫ和ＡＫＣ中，根据平行线分线段成比例知： ２、利用“圆的仿射变换像是椭圆”这一结论，试将与圆有关的一些结论移植到椭圆上去，并给出证明 专题六 学号： 姓名： 1、写出“非负数的平方为非负数”的逆否命题。 解：如果一个数是正数，则它的平方是正数。 2、 解：真命题 3、卡片的一面写上英文字母，另一面写上数字，规定：若一面写英文字母R时另一面必须写数字2.为了判断下面四张卡片是否违反规定，翻哪几张牌就够了？ R 2 T 7 A B C D 解：解题依据：假言命题中的充分条件 A--->B的矛盾是A--->非B （公式）要求中只是R对应2，单并没有要求2对应R 所以，第一组中翻R、7两张牌即可，剩下的两张牌是不影响的。 第二组中不用翻看任何一张。 4.解：（1）P推出Q，同时，Ｐ推出Ｓ，那么Ｐ推出“Ｑ且Ｓ”等价不成立 （２）P推出Q，或者，Ｐ推出Ｓ，那么Ｐ推出“Ｑ或Ｓ”等价成立 （３）P推出Q，同时，Ｒ推出Ｑ，那么“Ｐ或Ｒ“推出Ｑ等价成立 （４）P推出Q，同时，Ｒ推出Ｑ，那么“Ｐ或Ｒ“推出Ｑ等价成立 5.解：（１） （２）假命题，条件范围“大“，结论范围”小“，故为假命题 作业标题：期末考核题目 作业要求： 就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。 高观点下的部分中学数学问题 摘要:随着高中新课程改革的深入，大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多，如选修4部分。中学数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。随着高考命题自主化的深入，越来越多的省和地区开始尝试自己命题，而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时，会受到自身研究氛围的影响，有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。 关键词：高等数学；初等数学；函数的拐点问题；函数的凸凹性；分解因式；数列；不等式 一、引言 随着高中课程的深入改革，大学高等数学的内容被引入了很多，如选修部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注，这些内容的变化很有可能是高考试卷今后命题的趋势。比如导数部分内容就丰富了很多。 1、函数的拐点问题 例1（2007湖南文21）已知函数在区间，内各有一个极值点． （II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式． 解析：（II）思路一：由知在点处的切线的方程是 ，即， 因为切线在点处过的图象， 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点． 而，且 ． 若，则和都是的极值点． 所以，即，又由，得，故． 解法二：同解法一得 ． 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）． 当时，，当时，； 或当时，，当时，． 设，则 当时，，当时，； 或当时，，当时，． 由知是的一个极值点，则， 所以，又由，得，故 点评 本题中“在点处穿过函数的图象”实际上是指点A处是函数的拐点。 有关拐点的问题，在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数。在处虽然导函数值为0，但不是极值点，左右两边的单调性相同。从数来看，使导函数所对应方程的偶次重根。所以本例中可知是重根。 2、函数的凸凹性 例2.若对所有的都有成立，则实数的取值范围是_____. 解析：, 设则 , 由得。注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+∞)外.即 另解： f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+∞)上恒在y=f(x)图像下方，所以a≤1. 点评：本题注意的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似还是类似即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。 二、用高等数学思想思想剖析初等数学问题更直观更明了 初等数学是高等数学的基础，许多初等数学的内容都是高等数学中的模型。如初等代数中的代数式、方程、数系、函数等，都是数学模型。高等数学正是在初等数学的基础上发展起来的。高等数学与初等数学之间有着必然的联系，许多初等数学无法解答的问题在高等数学中得以解决。 2.1因式分解问题 因式分解是一种重要的恒等变形，它的方法很多，技巧性很强，不易掌握，如用高观点来解决这类问题则可达到化难为易的效果。 例1　把分解因式。用初等数学方法，需要对上式拆项。即： 显然上式分解有一定难度，介利用微分法有助于找重因式;先对求导得，因此可知原式必有三重因式即：。 除了利用微分法可以帮助分解因式，还可以利用行列式的方法。 引理1（一元多项式）设是数域F上的一元多项式 则= 证明（参见文献[2]）。 引理2利用三阶行列式的平行线法，可很快算出循环行列式的值； 设A=，则 证明（参见文献[1]）。 例2　分解多项式 。 用初等数学方法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法会较易求得。 解：由引理1可得， 原式= = = = （行列式的计算原理参见文献[3]） 例3　因式分解 。 解：由引理2知,则 由上两例可知,利用行列式也可使某些因式分解问题简化。 2.2数列问题 引理3 如果行列式中有两两行(列)的对应元素成比例,则此行列式等于零. 证明(参见文献[1]) 由引理3，可知若不相等的三数成等差数列，且 则也成等差数列。 推论1，设分别是一等差数列的第项，第项，第项的充要条件是。 证：充分性， 由 ， 知 三点共线，不妨设该直线的方程为了，得三数所在数列的通项公式为，可知是以为通项的等差数列的第项，第项，第项。 必要性， 已知，分别是一等差数列的第项，第项，第项， 设它们所在的数列首项为，公差为， 所以， 例4　已知等差数列的第项为，第项为（0＜＜）， 求。 解：设等差数列的第项为， 由推论1得 得 ∴ ∴ 即 ∴ 推论2，若分别为一公差≠0的等差数列的第项，第项，第项，则分别是另一等差数列的第项，第项，第项的充要条件是 证明（参见文献[2]）。 例5:已知某一三角形三边成等差数列，三边长倒数，也成等差数列，问此三角形的形状。 解，成等差数列，也成等差数列 ∴ 从而 得或或， 又因为成等差数列 故，所以此三角形为等边三角形。 2.3不等式的的问题 利用中值定理解中学数学中的不等式 例7　 证明:当 时, 不等式在时成立。 分析:设则当 时, 对在区间上应用拉格朗日中值定理, 有, 当 时, 故 从而得证。 此例若考虑中学解法, 需将 展开, 经过讨论, 再适当放大和缩小后得出结果。 例8　证明:当时,。 此题可用中值定理证,也可用的单调性来证. 证明:设 则在上连续,在上可导,由拉格朗日定理知在内至少存在一点,使得,即 从例7,8 可以看出, 利用中值定理来证明不等式, 较初等解法要相对简单, 同时可以得到一些常用的公式。 3、 总结 高等数学与初等数学的区别在于研究对象和方法上的不同：初等数学研究的是规则、平直的几何对象和均匀有限过程的常量，亦称常量数学，思想方法上片面、孤立、静止地考虑问题；高等数学在初等数学的基础上研究的是不规则、弯曲的几何对象和非均匀无限变化过程的变量，思想方法上是在变化运动中考虑问题，也就是极限的方法。高等数学与初等数学因其所处历史时期不同，因此研究对象不同，研究方法不同。人们要随着这种不同转变学习时的思想方法，把初等数学的片面、孤立、静止的思想方法转变成在变化运动中考虑问题的极限方法，这样就能很快适应高等数学的学习，迅速入门，学好高等数学。 参考文献 [1]乐茂华，高等代数[M].南京:南京大学出版社,2002.53-81. [2]钱钉，初等数学中几个有用的行列式[J]．景德镇高专学报，1994,4:25-35. [3]陈志杰等，高等代数与解析几何习题精解[M]北京；科学出版社，2002.