求通项公式和数列求和的常用方法教师用.docx
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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备求递推数列通项公式的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有anSnSn 1 n2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*等差数列或等比数列的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例一已知无穷数列a n的前 n 项和为Sn ,并且anSn1nN ,求a n的通项公式?n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】:S1a ,aSSaa,a1 a ,又 a1
2、 ,a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 1nnn 1n 1n1n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思:利用相关数列是此题求解的关键 .a n与 Sn的关系: a1S1 , anSnSn 1 n2 与提设条件,建立递推关系,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练 1.已知数列a的前 n 项和 S ,满意关系lg Sn 1n n1,2 .试证数列a是等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn二归纳法:由数列前几项用不完全归纳推测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明其正确性,这种方法叫归纳法 .可编辑资
3、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例二已知数列a n中,a11, an2an 11n2 ,求数列a n的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】:a11, an2an 11n2 ,a22a113, a32a217可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n*推测 an21 nN ,再用数学归纳法证明 .(略)反思:用归纳法求递推数列,第一要熟识一般数列的通项公式,再就是肯定要用数学归纳法证明其正确性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练 2.设 a n是正数组成的数列,其前n 项和为Sn ,并且对于全部自然数n , an与 1 的等
4、差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中项等于Sn 与 1 的等比中项,求数列a n的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三累加法:利用ana1a2a1anan 1 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1anf n 的递推数列通项公式的基本方法(f n 可求前 n 项和) .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例三已知无穷数列a的的通项公式是 a1,如数列b满意 b1, n1 ,求数列b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n的通项公式 .【解析】:b1,bbn21nn1)
5、,bbn2bb b1nn 1n 111= 21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n 1nn121nbn1 =1+222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为nan 1anf n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练 3.已知 a1 , aa1 nN * ,求数列a通项公式 .n12n 12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四累乘法 :利用恒等式aa a2 a3ana0, n2) 求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1a1 a2n
6、an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如:an 1gna n 的递推数列通项公式的基本方法数列g n 可求前 n 项积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例四已知 a1, anaa nN * ,求数列a通项公式 .1nn 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】:anaa ,an 1n1 ,又有 aaa2 a3ana0, n2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nannn1a1 a2nan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123n= n ,当 n1 时 a1,满意 an ,an .可编辑资料 - -
7、 - 欢迎下载精品名师归纳总结 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1gna n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练4.已知数列是
8、.an满意a11 , ana12a23a3n1an1 n2 .就an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五构造新数列 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 1an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法:把原递推公式转化为an 1anf n ,利用累加法 逐差相加法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1:已知数列a满意 a1 , aa1,求 a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:由条件知:nan 1121ann 2n 1n1nn nn2nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精
9、品名师归纳总结分别令n1,2,3, n1,代入上式得n1个等式累加之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1 a3a2 a4a3 anan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 1221 11 33411 n1n所以 a n1a11n11131a,a11n22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 2an 1f nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法:把原递推公式转化为an 1anf n ,利用累乘法 逐商相乘法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2:已知数列a满意 a2 , ana,求 a
10、 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 1nn3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 : 由 条件 知an 1a nn, 分 别令 n1123n1an1234na1nn1,2,3, n1 , 代 入上 式得 n1 个等 式 累 乘 之 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a3a4a1a2a3anan 1又a122,an33n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3:已知 a13 , an 13n1ann3n21 ,求an 。3n43n7523n13n48536可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解: a n3
11、n113 n123n213n2232131a1322323n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式:( 2004,全国I, )已知数列 an ,满意 a1=1, ana12a23a3n1 an 1n 2,就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的通项 an1n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:由已知,得an 1a12a23a3n1an 1nan ,用此式减去已知式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时, an 1annan ,即 an 1n1an ,又a2a1
12、1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a1, a2a11, a3a23, a4a34,anan 1n ,将以上 n 个式子相乘,得 a nn. n2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 3an 1panq (其中 p,q 均为常数, pq p10 ) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法(待定系数法):把原递推公式转化为:等比数列求解。an 1tpant ,其中 tq,再利用换元法转化为1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4:已知数列an中, a11 , an 12an3,求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
13、名师归纳总结解:设递推公式an 12an3 可以转化为an 1t2ant 即 an 12antt3 .故递推公式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a32 a3 ,令ba3,就 ba 34 ,且 bn 1a n 132 .所以b 是以 b4 为首项, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn11n1bna n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为公比的等比数列,就bn42n 12n1 ,所以 a2n 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n变式:( 2006,重庆 ,文,14)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学
14、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在数列an中,如 a11, an 12an3n1 ,就该数列的通项an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结( key: an类型 4a2n 13 )paqn (其中 p, q 均为常数, pq p1 q10 )。(或aparq n ,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
15、名师归纳总结n 1nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p,q,r 均为常数)。解法:一般的,要先在原递推公式两边同除以q n 1 ,得:an 1qn 1p anq q n1 引入帮助数列qbn(其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a nbnnq),得: bn 1p b1 再待定系数法解决。nqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5:已知数列a中, a5 , a1 a1n 1 ,求 a。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 16nn32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:在an 11 an31 n21 两边
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