《极坐标与参数方程》总结与习题.docx
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1、精品名师归纳总结极坐标3.2 极坐标系1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点M,用表示线段 OM的长度, 表示从 Ox到 OM的角, 叫做点 M的极径, 叫做点 M的极角, 有序数对 , 就叫做点 M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。MOx图12、极坐标有四个要素:极点。极轴。长度单位。角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点, 在极坐标系下,一对有序实数、 对应惟一点 P,但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一 一个点可以有很多个坐标, 这些坐标又有规律可
2、循的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P, (极点除外)的全部坐标为 , 2 k或(, 2k1), kZ极点的极径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为 0,而极角任意取 如对 、 的取值范畴加以限制 就除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了,如限定0,0 2或 0, 等极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中, 点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0acosa cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asi
3、nasinacos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M(,)MM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0OxOa图1图20acosa O图3a cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M(,)M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aOa图5OM图4aasinaN a,Op图6a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为a0 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2
4、a cos2a cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2asin2a sin2 a cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MMMaaOxOxOax图3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图1图22acos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 a cosMOxM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aMaOxa ,aOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图42asin图52asin图622a cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、极坐标与直角坐标
5、互化公式:y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NxM , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x cosOy sinx2y22Hytanx0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 直线的极坐标方程如直线 l 经过点 M 0,0,且极轴到此直线的角为,求直线 l 的极坐标方程。设直线 l 上任意一点的坐标为 P,由正弦定理,得:(直极互化 图)lP, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPsin OMP整理得直线 l 的极坐标方程为=OMsi
6、nOPMM 0,00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Oxsin- =0 sin0 - 。0一些特别位置的直线方程如下:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经过极点经过定点 Ma ,0,且与极轴垂直经过定点 Mb ,2,且与极轴平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =cos = asin = b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lOMxlaOMxMb , 2laOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 圆的极坐标方程如圆的圆心为 M0,0,半径为 r,求圆的极坐标方程。P设 P, 为圆上任意一点,由余弦定理,得M0可编辑资
7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PM 2 = OM 2 +OP2 - 2OMOPcosPOM ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就圆的极坐标方程是0002 - 2cos- +2Ox- r2 = 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一些特别位置的圆的方程如下 设圆的半径为 r:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆心在极点圆心在极点右侧圆心在极点上方圆心在极点左侧圆心在极点下方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= r= 2rcos = 2rsin = - 2rcos = - 2rsin OxOxOxOx Ox可编辑资料 - - -
8、 欢迎下载精品名师归纳总结(一)曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中,假如曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个变数 t 的函数,即x f t y f t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并且对于 t 每一个答应值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数(二)常见曲线的参数方程如下:1. 过定点( x0,y0),倾角为 的直线:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x x0y y0t cos t sin( t 为参数)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中参数 t
9、 是以定点 P(x0,y0)为起点, 对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量, 又称为点 P 与点 M 间的有向距离依据 t 的几何意义,有以下结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 设 A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA 和 tB ,就 AB tBt A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结At Bt 24t At B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 线段 AB 的中点所对应的参数值等于2. 中心在( x0,y0)
10、,半径等于 r 的圆:t AtB 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x x0y y0r cos r sin(为参数)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x a cosy b sin(为参数)(或x b cos)y a sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中心在点( x0,y0)焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程xx0acos,为参数)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy0b
11、sin.4. 中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x asecy btg(为参数)(或x btg)y asec可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2 pt 2y 2 pt( t 为参数, p 0)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线的参数方程和参数的几何意义过定点 P(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是x x0y y0t cos t sin( t 为
12、参数)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【乘积用的】极坐标的点与直角坐标系的点的互化:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知 M5,以下所给出的不能表示点的坐标的是() A3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 5,3B 5, 43C 5,23D5,53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 以下各点中与极坐标2,不表示同一个点的极坐标是() B6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
13、总结7 2,6 2,762,116132,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 点P 1,3 ,就它的极坐标是()C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2,34B 2,3C 2,3D 2,43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1点2, 2的极坐标为。22 , 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如 A,B 4,6,就|AB|=, 。(其中 O
14、是极点) 5,6。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5将直角坐标1,3化为极坐标 0,02。 2, 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. 已知三点 A5, ,B-8 , 11 ,C3,267 ,就ABC外形为.锐角三角形6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17. 点P 1,3 ,就它的极坐标是2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极坐标方程的轨迹1 ABC 的底边 BC10,A1B, 以 B 点为极点, BC 为极轴,求顶点 A 的轨
15、迹方程。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 sin210 sin 32(提示:用正弦定懂得 ABC,sinABACBBC)sinA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C(1) 求圆 C 的极坐标方程。3, ,半径 =1,Q 点在圆 C 上运动。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 如 P 在直线 OQ 上运动,且 OQQP=23,求动点 P 的轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、( 1) 26cos80 。(2)6215cos5006可
16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(提示:设 P, ,Q(0 , 0 ,依题意得:0,025,代入可得。)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17在平面直角坐标系中已知点A(3,0),P 是圆PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。x 2y 21 上一个运点,且AOP 的平分线交P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结QOA解: 以 O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 设 Q, P 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S OQAS OQPS OAP可编辑资料 - - - 欢迎下
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