江苏专用版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数数学归纳法教师用书理.docx
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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第十三章推理与证明、算法、复数 13.3数学归纳法老师用书理 苏教版数学归纳法一般的,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:假如(1) 当 n 取第一个值n0 例如 n0 1,2 等 时结论正确。*(2) 假设当 n k k N ,且 k n0 时结论正确,证明当nk 1 时结论也正确那么,命题对于从n0 开头的全部正整数n 都成立【摸索辨析】判定以下结论是否正确 请在括号中打“”或“”(1) 用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n 1 时结论成立(2) 全部与正整数有关的数学命题都必需
2、用数学归纳法证明(3) 用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用(4) 不论是等式仍是不等式,用数学归纳法证明时,由n k 到 n k 1 时,项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式“1 2 22 2n 2 2n 31”,验证n1 时,左边式子应为123 2 2 2 .6 用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时,n03.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 22n11 a*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1用数学归纳法证明1 a a a边的项是 答案1 a a2解析当 n 1 时, n 1 2, 1 a a1, n N ,在验证 n 1 时,等式左可编辑资料
3、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122左边 1 a a 1 a a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122021 南京模拟 已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明1 11 1 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2341nn 2n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精
4、品名师归纳总结 2n 时,如已假设n k k2 且 k 为偶数 时命题为真,就仍需要用归纳假设再证 n k 1 时等式成立 n k 2 时等式成立 n 2k 2 时等式成立 n 2 k 2 时等式成立答案解析由于 n 为正偶数, n k 时等式成立,即 n 为第 k 个偶数时命题成立,所以需假设n 为下一个偶数,即nk 2 时等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12 n 3 条时,第一步检验n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案3解析凸 n 边形边数最小时是三角形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
5、结故第一步检验n 3.2n4 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4用数学归纳法证明1 2 3 n 2,就当 n k 1 时左端应在n k 的基础上加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上 2222答案 k 1 k 2 k 3 k 12解析等式左边是从1 开头的连续自然数的和,直到n .2222故 n k 1 时,最终哪一项 k 1 ,而 n k 时,最终哪一项k ,应加上 k 1 k 222 k 3 k 1 .2*5 教材改编 已知 an 满意 an1 an nan 1,nN ,且 a12,就 a2 ,a3 ,a4 ,猜想 an .答案345n 1题型一用数学归纳
6、法证明等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -111*例1设 f n 1 2 3 n nN 求证:f 1 f 2 f n 1 n f n *1 n2, nN 证明当 n2 时,左边 f 1 1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边 21 1 1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
7、下载精品名师归纳总结左边右边,等式成立*假设 n k k2, kN 时,结论成立,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1 f 2 f k 1 k f k 1 ,那么,当n k 1 时,f 1 f 2 f k 1 f k k f k 1 f k k 1 f k k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 f k1 k k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 f k 1 k 1 k1 f k1 1 ,当 n k 1 时结论成立*由可知,f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n2, n N 思维升华用数学归纳法证明恒等式应留意(1) 明确
8、初始值n0 的取值并验证n n0 时等式成立(2) 由 n k 证明 n k 1 时,弄清左边增加的项,且明确变形目标(3) 把握恒等变形常用的方法:因式分解。添拆项。配方法2021 南京质检 用数学归纳法证明:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2212*1nnn2 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结335nnn211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明当 n1 时,左边 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边331 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边右边,等式成立假设 n k k1, kN* 时,等
9、式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2212即1k2kk,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结335kkk当 nk 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边1222k2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13kkk35kkk2kkkk可编辑资
10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkkk2kkkk2 5kkkkkk,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边kk 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk,k左边右边,等式成立*即对全部n N ,原式都成立题型二用数学归纳法证明不等式a*例 22021 泰州模拟 等比数列 n 的前 n 项和为 Sn,已知对任意的n N ,点 n,Sn 均在函数 y bx r b0 且 b1, b, r 均为常数 的图象上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求 r 的值。(2) 当b 2时 , 记bn 2log*2an 1 n N , 证 明 : 对
11、 任 意 的n N , 不 等 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1 1b1b2 1b2bn 1bnn 1成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n(1) 解由题意, Sn b r ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2时, Sn 1 bn 1 r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1所以 an Sn Sn1 b b 1 由于 b0 且 b1,所以 n2时, an 是以 b 为公比的等比数列 又 a1b r , a2 b b 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
12、结a2a所以 b,即1bbb r b,解得 r 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1(2) 证明由1 及 b 2 知 an 2.*因此 bn 2n nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所证不等式为2 124 1432n 12nn 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 1 时,左式,右式2, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -
13、欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -左式 右式,所以结论成立*假设 n k k1, kN 时结论成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1即24 142k12kk 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 n k 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 14 12k 12k 32k 32k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结242kkk 1,k2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要证当 n k 1 时结论成立,2k 3可编辑资料 - - - 欢迎
14、下载精品名师归纳总结只需证k 2,2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k 3即证kk,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由基本不等式得2k 32k 32kk2kk成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故2k 1k 2成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*所以当 n k 1 时,结论成立 由可知,当n N 时,不等式b1 1b1b2 1b2bn 1bnn 1成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思维升华数学归纳法证明不等式的适用范畴及关键(1) 适用范畴: 当遇到
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