(整理版)平面向量数量积的坐标表示(知识讲解与典型例题).doc
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1、平面向量数量积的坐标表示 知识讲解与典型例题本周重点:平面向量数量积的坐标表示;两个向量垂直的充要条件。 本周难点:利用向量的数量积解决具体问题。 本周内容: 上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律,而向量是可以用坐标来表示的,那么向量数量积是如何用坐标表示呢?下面我们来学习这局部知识。 我们给出两个非零向量用坐标给出,我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。如图不妨设: 那么有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2),又设x,y轴上的向量为, 那么有, 是互相垂直的向量, , , 那么 也就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和结果是数量,即 , 假设 那么, , ,
2、上图中A(x1,y1),B(x2,y2), 那么 那么。 这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式不用向量你会推导吗。 上图中假设设AOB=, 那么, 即 。 由此可得到两个向量的夹角。特别地,当=90时,cos=0,即x1x2+y1y2=0。 由此知:垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。 这个充要条件在今后解决问题中十分重要。 下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。 例1:。 1求:; 2求:; 3求:, 4求: 解:1 由此可见证。严格证明需要把的坐标一般化,但方法是一样的。 2 3 。 由此可证: 4 由此可验证:向量的数量积不满足结合律,即不一定相等。 例2试判断满足以下条件
3、的三角形的形状。 1ABC中,A1,-2,B-3,-1,C5,-1 2ABC中,A1,2,B2,3,C-2,5 3ABC中,A0,3,B4,0,C7,4 解:1 由此可知ABC为等腰三角形。 2 或:, ABC为直角三角形。 3 , ABBC, , ABC为等腰直角三角形。 例3:向量满足,求:向量与向量的夹角。 解:设, 那么 即 , , 那么:, 0, 。 例4求证:非零向量垂直的充要条件是。 证明:设 1充分性: 即x1x2+y1y2=0, . 2必要性: , x1x2+y1y2=0, 例5:RtABC中,求m的值。 解:, 。 1当A=90时, 2当B=90时, 3当C=90时, 即,
4、 由123知: 。 例6: 1求证:垂直; 2假设,求-的值。 1证明: = = 垂直。 又证: 垂直。 2 2kcoscos+2ksinsin=-2kcoscos-2ksinsin 2kcos(-)=0 k0, cos(-)=0 0, . 课后练习: 1假设点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),那么= 。 A、-1B、0 C、1D、2 2假设的夹角为 。 A、30 B、45 C、60 D、90 3假设垂直,那么实数k= 。 A、1 B、-1 C、1或-1 D、非以上答案 4假设A1,0,B5,-2,C8,4,D4,6,那么四边形ABCD为 。 A、正方形 B、菱形 C、梯形 D、矩形
5、 5假设ABC中,A1,2,B4,1,C0,-1,那么ABC是 。 A、直角三角形B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 6假设的夹角为钝角,那么实数k的取值范围是 。 A、B、2,+ C、 D、 7假设的向量=_。 8与垂直的向量是 。 9假设A(cos, sin), B(cos, sin), ,那么| |的取值范围是_。 10,以原点和A5,2为顶点的等腰直角三角形OAB中,B=90,求:点B及向量的坐标。 练习答案: 1. B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7. (2,-3) 8. 9. (0,2 10. 专题辅导平面向量数量积的坐标表示 知识要点: 向量的数量积它
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