2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评:1.3 柱坐标系和球坐标系 .doc
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1、1柱坐标系导疑1柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系?导思1柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标导疑2在柱坐标系中,方程1表示空间中的什么曲面?导思21表示以z轴为中心,以1为半径的圆柱面导果(1)柱坐标系的概念建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用(,)(0,02)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标这时点P的位置可用有序数组(,z)(zR)表示,这样,我们建立了空间的点与有序数组(,z)之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(,z)叫做点P的柱坐标,记作P(,z),其中柱坐标系又称半极坐标系,它是由平
2、面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的(2)直角坐标与柱坐标的转化空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,z)之间的变换公式为2球坐标系导疑1在球坐标系中,方程rr0(r0为正常数)表示什么图形?导思1在空间的球坐标系中,方程rr0(r0为正常数)表示球心在原点,半径为r0的球面导疑2在球坐标系中,方程r1表示空间中的什么曲面?导思2在球坐标系中,方程r1表示球心在原点的单位球面导果(1)球坐标系建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|r,OP与Oz轴正向所夹的角为,设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为这
3、样点P的位置就可以用有序数组表示这样,空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,)叫做点P的球坐标,记作,其中 在测量实践中,球坐标中的角称为被测点P(r,)的方位角,称为高低角(2)空间直角坐标与球坐标的转化空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,)之间的变换关系为 1判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标()(2)在柱坐标系中,方程0表示与yOz坐标面成0角的半平面()(3)在球坐标系中,方程rr0(r0为正常数)表示球心在原点,半径为r0的球面()
4、(4)在球坐标系中,方程0(000,点M的柱坐标为(4)已知N的柱坐标为,则它的直角坐标为_答案(0,2,3)解析由变换公式得x2cos0,y2sin2,故点N的直角坐标为(0,2,3) 探究柱坐标与直角坐标的互相转化例1(1)设点A的直角坐标为(1,5),求它的柱坐标;(2)已知点P的柱坐标为,求它的直角坐标解(1)由变换公式即212()24,2tan,又x0,y0,点A在第一象限,点A的柱坐标为(2)由变换公式得:x4cos2,y4sin2,z8点P的直角坐标为(2,2,8)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可设点的柱坐标为(,z),代入变换公式求,也可利用2x2y2,求利用tan求,在求
5、的时候特别注意角所在的象限,从而确定的值;同理,可由柱坐标转化为直角坐标【跟踪训练1】已知空间点M的直角坐标为(1,3),求它的柱坐标解由公式得2(1)2()242cos,sin又0,2),即M的柱坐标为探究球坐标与直角坐标的互相转化例2(1)已知点P的球坐标为,求它的直角坐标;(2)已知点M的直角坐标为(2,2,2),求它的球坐标解(1)由变换公式得,xrsincos4sincos2yrsinsin4sinsin2zrcos4cos2故其直角坐标为(2,2,2)(2)由坐标变换公式,可得r 4由rcosz2,得cos,0,又tan1,(M在第三象限),从而知M点的球坐标为由直角坐标化为球坐标
6、时,可设点的球坐标为(r,),利用变换公式求出r,即可;也可以利用r2x2y2z2,tan,cos来求要特别注意由直角坐标求球坐标时,要先弄清楚和所在的位置【跟踪训练2】已知点M的球坐标为,求它的直角坐标解本题主要考查将球坐标化为直角坐标的方法,解答此题需要明确各坐标的意义,然后将其代入相应公式即可解决r5,即点M的直角坐标为探究柱坐标系、球坐标系的应用例3在赤道平面上,我们选取地球球心O为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立坐标系有A,B两个城市,它们的球坐标分别为AR,B,飞机沿球的大圆圆弧飞行时,航线最短,求最短的路程解如图所示,因为A,B,可知AOO1O1OB,O1A
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