[理学]高等代数课件北大版第六章 线性空间§65.ppt
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1、理学理学高等代数课件北高等代数课件北大版第六章大版第六章 线性空间线性空间65数学与计算科学学院数学与计算科学学院设设V是数域是数域P上的线性空间,集合上的线性空间,集合()WV W 若若W对于对于V中的两种运算也构成数域中的两种运算也构成数域P上的线性上的线性空间空间,则称则称W为为V的一个的一个线性子空间线性子空间,简称为,简称为子空间子空间注:注: 线性子空间也是数域线性子空间也是数域P上一线性空间,它也上一线性空间,它也 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的任一线性子空间的维数不能超过整个空间的有基与维数的概念有基与维数的概念. . 维数维数. .数学与计算科学学院()W ,若,若W
2、对于对于V中两种运算封闭,即中两种运算封闭,即 ,;WW 有有则则W是是V的一个子空间的一个子空间 :设:设V为数域为数域P上的线性空间,集合上的线性空间,集合 WV ,WkPkW 有有,.Wa bP abW :V为数域为数域P上的线性空间上的线性空间, , (),WV W 则则W是是V的子空间的子空间数学与计算科学学院 , . . 且对且对 , W WW由数乘运算由数乘运算封闭,有封闭,有 ( 1)W ,即,即W中元素的负元素就是中元素的负元素就是它在它在V中的负元素,中的负元素,4)成立)成立就是就是V中中的零元,的零元, 3)成立)成立由于由于 WV,规则,规则1)、)、2)、)、5)、
3、)、6)、)、7)、)、8)是显然成立的下证是显然成立的下证3)、)、4)成立)成立 由加法封闭,有由加法封闭,有 , ,即即W中的零元中的零元0()W 证明证明:要证明:要证明W也为数域也为数域P上的线性空间,上的线性空间,即证即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则中的向量满足线性空间定义中的八条规则 数学与计算科学学院 例例2设设V为所有实函数所成集合构成的线性空间为所有实函数所成集合构成的线性空间, ,则则Rx为为V的一个子空间的一个子空间 例例3Pxn是是Px的的线性子空间的的线性子空间 例例1设设V为数域为数域P上的线性空间,只含零向量的上的线性空间,只含零向量的子集合是子集合是
4、V的一个线性子空间,称之为的一个线性子空间,称之为V的的零子空间零子空间线性空间线性空间V本身也是本身也是V的一个子空间的一个子空间. . 这两个子空间有时称为这两个子空间有时称为平凡子空间平凡子空间,而其它的,而其它的子空间称为子空间称为非平凡子空间非平凡子空间 0W 数学与计算科学学院的全部解向量所成集合的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数对于通常的向量加法和数 ()的的解空间解空间W的维数的维数n秩秩(A), ;()ijs nAa 例例4n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 111122121122221122000nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa
5、 x ( () ) ( () )的一个基础解系就是解空间的一个基础解系就是解空间W的一组基的一组基.空间,称空间,称W为方程组为方程组()的的解空间解空间量乘法构成的线性空间是量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间维向量空间 Pn 的一个子的一个子数学与计算科学学院例例5判断判断Pn的下列子集合哪些是子空间:的下列子集合哪些是子空间: 11212(,)0,nniWx xxxxxxP 解:解:W1 、W3是是Pn的子空间,的子空间, W2不是不是Pn的子空间的子空间. .21212(,)1,nniWx xxxxxxP 3121(,0),1,2,1niWx xxxP in 若为若为Pn的子空间,求
6、出其维数与一组基的子空间,求出其维数与一组基. .事实上,事实上,W1 是是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组的解空间的解空间. . 所以,维所以,维W1 n n1 1,的一个基础解系的一个基础解系120nxxx 数学与计算科学学院就是就是W1 的一组基的一组基. .1(1, 1,0,0), 1(1,0,0, 1)n ,2(1,0, 1,0,0), 而在而在 W2中任取两个向量,设中任取两个向量,设, 1212(,),(,)nnxxxyyy 1122()()()nnxyxyxy 但但是是1212()()112nnxxxyyy1122(,)nnxy xyxy 2,W 则则故故W2不是不是Pn的子
7、空间的子空间. .数学与计算科学学院故,故,W3为为V的一个子空间,且维的一个子空间,且维W3 n n1 1 ,1213(,0)nkkx kxkxW 1122113(,0)nnxyxyxyW 则有则有 其次,其次, 3,WkP 121121(,0),(,0)nnxxxyyy 设设330(0,0,0),WW 首首先先下证下证W3是是Pn的子空间的子空间. .(0,0,1,0,0),1,2,1iiin 就是就是W3的一组基的一组基. .数学与计算科学学院例例6设设V为数域为数域P上的线性空间,上的线性空间, 12,rV 1122,1,2, rriWkkkkP ir 令令则则W关于关于V的运算作成的
8、运算作成V的一个子空间的一个子空间 即的一切线性即的一切线性组合所成集合组合所成集合.12,r 数学与计算科学学院称为称为V的由的由 生成的子空间生成的子空间,12,r 定义定义:V为数域为数域P上的线性空间,上的线性空间, 则子空间则子空间 12,rV ,1122,1,2, rriWkkkkP ir 记作记作 12(,)rL 称称 为为 的一组的一组 生成元生成元.12,r 12(,)rL 数学与计算科学学院例例7在在Pn 中中, 21 (1, ,)nnP xLx xx (0,0,1,0,0),1,2,iiin 为为Pn的的一组基,一组基,12(,)nna aaP 1 122nnaaa 有有
9、12(,)nnPL 故故有有即即 Pn 由它的一组基生成由它的一组基生成.类似地,还有类似地,还有 1011011,nnnaa xaxa aaP 事实上,任一有限事实上,任一有限维线性空间都可由维线性空间都可由它的一组基生成它的一组基生成.数学与计算科学学院设设W为为n维线性空间维线性空间V的任一子空间,的任一子空间, 是是W的一组基,则有的一组基,则有12,r 12(,)rWL () 1) ; 为线性空间为线性空间V中的中的两组向量,则两组向量,则12,s 1212(,)(,)rsLL 12,r 与与 等价等价 12,r 12,s 2)生成子空间)生成子空间 的维数的维数12(,)rL 向量
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