2022年初等数论习题答案.docx
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《2022年初等数论习题答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年初等数论习题答案.docx(58页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载附录 1 习题参考答案第一章 习 题 一1. 由 a b 知 b = aq,于是 b = a q, b = a q及 b = aq,即a b,a b 及 a b;反之,由 a b, a b 及 a b 也可得 a b; 由a b,b c 知 b = aq1,c = bq2,于是 c = aq1q2,即 a c; 由 b ai 知 ai = bqi,于是 a1x1 a2x2 akxk = bq1x1 q2x2 qkxk,即 b a1x1 a2x2 akxk; 由 b a 知 a = bq,于是 ac = bcq,即 bc ac;
2、 由 b a 知 a = bq,于是 |a| = |b|q|,再由 a 0 得 |q| 1,从而 |a| |b|,后半结论由前半结论可得;2. 由恒等式 mq np = mn pq m pn q及条件 m p mn pq可知 mp mq np;3. 在给定的连续 39 个自然数的前 20 个数中,存在两个自然数,它们的个位数字是 0,其中必有一个的十位数字不是 9,记这个数为 a,它的数字和为 s,就 a, a 1, , a 9, a 19 的数字和为 s, s 1, , s 9, s 10,其中必有一个能被11 整除;4. 设不然, n1 = n2n3,n2 p,n3 p,于是 n = pn
3、2n3 p3,即 p 3 n ,冲突;5. 存在无穷多个正整数 k,使得 2k 1 是合数,对于这样的 k,k 12 不能表示为 a2 p 的形式,事实上,如 k 12 = a2 p,就 k 1 a k 1 a = p,得k 1 a = 1,k 1 a = p,即 p = 2k 1,此与 p 为素数冲突;第一章 习 题 二1. 验证当 n =0,1,2, ,11时, 12|fn;2. 写 a = 3q1 r1,b = 3q2 r2,r1, r2 = 0, 1 或 2,由 3 a2 b2 = 3Q r12 r22知 r1 = r 2 = 0,即 3 a 且 3 b;3. 记 n=10q+r, r
4、 =0,1, ,9,就 nk+4- nk 被 10 除的余数和 rk+4- rk = rk r4-1 被10 除的余数相同;对 r=0,1, ,9进行验证即可;4. 对于任何整数 n,m,等式 n2 n 12 = m2 2 的左边被 4 除的余数为 1,而右边被 4 除的余数为 2 或 3,故它不行能成立;名师归纳总结 第 1 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5 因 a4 3a2 9 = a2 3a 3 a2 3a 3,当 a = 1,2 时,a2 3a 3 = 1,a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7,13
5、,a4 3a2 9 是素数; 当 a 3 时,a2 3a 3 1,a2 3a 3 1 ,a4 3a2 9 是合数;6. 设给定的 n 个整数为 a1, a2, , an,作s1 = a1,s2 = a1 a2, sn = a1 a2 an,假如 si 中有一个被 n 整除,就结论已真,否就存在 si,sj,i 0,就 |b| m ,故有 a, b = |b|;2. 设 m 是 a1, a2, , an 的任一个公倍数,由 a1 m, a2 m 知 a1, a2 = m2 m,由 m2 m, a3 m 知m2, a3 = m3 m,由 mn 1 m, an m 知 mn 1, an = mn m
6、,即 a1, a2, , an m;3. 只须证ababab ab ,即只须证 b, ab = a, b,此式明显;a ,b b ,ab4. 由 ab = 120 及 ab = a, ba, b = 24 144 = 3456 解得 a = 48,b = 72 或a = 72, b = 48;2 2 2 2 2 22 a b c a b c5. 由于 a , b , c ab , bc , ca 2, a , b b , c c , a a , b b , c c , a ,故只须证明 a, b, cab, bc, ca = a, bb, c c, a,此式用类似于例 3 的方法即可得证;6.
7、 设 s = 1k 2k及 2s = 0k 9 k 1 k 8 k 而 1 2 9 = 45 s ; 9k,就由 2s = 1 k 9k 2k 8k 9k 1k = 10 q1 9 k 0 k = 9q2 得 10 2s 和 9 2s,于是有 90 2s,从第一章 习 题 五1. a b 知 b = ab1,由性质 ma, mb = |m|a, b得a, b = a, ab1 = a1, b1 = a; 由性质 ma, mb = |m|a, b得a, b = 2 a1, 2 b1 = 2 2 a1, b1; 由性质 a, b = 1 a, bc = a, c得 a, b = a, 2 b1 =
8、 a, b1; 由性质 a, b a b= |a b|, b及 a, b = 1 a, bc = a, c得a, b = | | , b;22. 作辗转相除: 1387 = 162 8 91, 162 = 91 2 20,91 = 20 4 11,20 = 11 1 9,11 = 9 1 2,9 = 2 4 1,2 = 1 2 0,由此得 n = 6,q1 = 8,q2 = 2,q3 = 4,q4 = 1,q5 = 1 ,q6 = 4,x = 1n 1Qn = 73,y = 1nPn = 625,又 1387, 162 = rn = 1,故 1387 73 162 625 = 1 = 1387
9、, 162 ;3. 27090, 21672, 11352 = 4386, 10320, 11352 = 4386, 1548, 2580 = 1290, 1548, 1032 = 258, 516, 1032 = 258, 0, 0 = 258 ;4. Fn + 1, Fn = Fn Fn 1, Fn = Fn 1, Fn = = F1, F2 = 1;5. 设除数为 d,余数为 r,就由d 4582 2836 = 1746,d 5164 4582 = 582, d 6522 5164 = 1358 知 d 1746, 582, 1358 = 194 ,由此得 d = 97,r = 23 或
10、 d = 194, r = 120;名师归纳总结 6. 作辗转相除:r1,0 r 1 |b|,第 3 页,共 30 页a = bq1b = r 1q2r 2,0 r 2 r 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载r n 2 = rn 1qn rn,0 rn rn 1,r n 1 = rnqn 1 rn 1,rn 1 = 0;由第一式得2a 1 = 2 bq 1 r 1 2 r 1 2 r 1 1 2 r 1 2 b q 1 1 2 r 1 1 2 b1 Q 1 2 r 1 1,即 M a M b Q 1 M r 1, M a , M
11、b M b , M r 1 ;类似可得 M b , M r 1 M r 1 , M r 2 等,于是 M a , M b M b , M r 1 M r n , M r n 1 M r n M a , b ;第一章 习 题 六1. 明显 d = p 1 1 p 2 2 kp k( 0 i i,1 i k)是 n 的正因数; 反之,设 d 为 n 的任一个正因数,由 d n 知对每一个 pi,d 的标准分解式中 pi 的指数都不超过 n 的标准分解式中 pi 的指数, 即 d 必可表示成 p 1 1 p 2 2 p k k( 0 i i,1 i k)的形式; 类似于 可证得;2. 明显对于 i
12、= min i, i, 1 i k,p 1 1 p k k | a,p 1 1 p k k | b,而且如 d a,d b,就 d 的标准分解式中 pi 的指数同时不超过 a 和 b 的标准分解式中 pi 的指数,即 d p 1 1 p k k,这就证明白 a, b = p 1 1 p k k,i = min i, i ,1 i k; 类似于 即可证得;3. 22345680 = 243 5 7 47 283;4. 写 i = 2 ii,2 | i, i = 1, 2, , 2n,就 i 为 1, 2, , 2n 中的奇数,即 i 只能取 n 个数值,在 n 1 个这样的数中,必存在 i =
13、j(i j ),于是易知 i 与 j 成倍数关系;5.写 i =2ii,2|i,i = 1, 2, , n,令 = max1, 2, ,n = k,明显1,且由第一节例12n,如5 知使 = k 的 k( 1 kn)是唯独的,取T = 2 1S 是整数,就 ST =TT 22112knT中除2112kn项外都是整2kn2k数,冲突;名师归纳总结 6.设a1p 11p 22kpkk,bp 11p 22p kk,令,i,a 1a,第 4 页,共 30 页a 2p 1p2 2p k,ii,imax i i ,i0,其它,a 2b 2p 11p22p kk,ii,当 i i maxi i ,ib 1b
14、,0,其它,b 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载就 a1,a2,b1, b2 使得 a = a1a2, b = b1b2, a2, b2 = 1,并且 a, b = a2b2;第一章 习 题 七1. , , 明显; 由 x y = x x y y = x y x y 即可证得; 由 x = x x = x x 即可证得; 由 x = x x = x 即可证得;12347 12347 123472. 2 3 = 1763 251 35 5 = 2054;7 7 73. 由例 4 得 x 1 = 2x x,于是2r 1r 1 n2 2
15、r r 1 2 nr 12 r 1 2 r n1 2 nr =n = n ;4 设 x = a, a=1,2, ,n-1, 0 1;代入原方程得到 2 a 2 = 2 a , 知 2a Z ,的可能取值是 0 , 1 , , 2 a 1,即有 2a 个解;由于 x=n 也是2 a 2 a解,因此,共有 2 1 2 n 1 1 个解;5. 设 x = n,n Z ,1 1,就 fx = x 2x 22x 23x 24x 25x = n 2n 22n 23n 24n 25n 2 22 23 24 25,由此得 63nfx 63n 1 3 7 15 31 63n 57,另一方面, 12345 为 6
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022 年初 数论 习题 答案
![提示](https://www.deliwenku.com/images/bang_tan.gif)
限制150内