2022年为什么叫“基本不等式”.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 为什么把a2b学习必备欢迎下载 ab (a,b0)叫做 “基本不等式 ”1从“数及其运算 ”的角度看,a b 是两个正数 a,b 的“平均数 ”;2 从定量几何的角度看, ab 是长为 a、宽为 b 的矩形面积,ab 就叫做 两个非负数 a,b 的“几何平均 ”;因此,不等式中涉及的是代数、几 何中的 “基本量 ”;2有多种等价形式:代数 涉及两个正数的运算,也就是通过加、减、乘、除、乘 方、开方等运算而产生的变化; 在对运算结果之间的大小关系比较中 就可以得到各种表现形式;几何 周长相等的矩形中,正方形的面积最大;或者,以 a+b 为斜边的直
2、角三角形中, 等腰直角三角形的高最长; 或者,更直观地,等圆中,弦长不大于直径; 函数 本质上是函数凹凸性的反映; 例如,可以直接通过函数y1 ,xyx,yx2等同学最熟识的函数的凹凸性导出公式;或者,利用函数图像的切线(本质上是“ 以直代曲 ”),例如,过点 1,1作曲线 y x 的切线,切线方程为 y 1 x 1,曲线 y x 总位于切线的下2方,故有,x 1 x 1;令 x a,代入化简即得重要不等式;2 b也可以这样考虑:在一个平面内固定一条直线 x+y=2A,考察曲线族 xy=c(这里 c 是参数),画个图就可以看出,和给定直线有公共点,且使 c 取最大值的曲线,是和直线相切于(这时
3、 c=A 2,于是 xyx2y2;A,A)的那条曲线,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3证明方法的多样性从上所述已经说明, “基本不等式 ” 确是与重要的数学概念和性质相关,表达基础学问的联系性,表述形式简洁、流畅且好懂,而且从上述联系性中, 事实上也已经给出了证明的各种思路,这些思路与数学的基本概念相关,不涉及太多的技巧;我们仍可以从 “平均数 ”的角度来构造性地证明:设 A= a b;引进一个量 d= a b,就 a=A+d,b=Ad;于是2 22a b =A 2d 2= a bd 2,由 d
4、0简洁得到 ab a b;2 24可推广;我们大家都知道有n 个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理; 这个定理的证明方法许多, 由此就能培育同学的解 题才能,而且能表达制造性;值得留意的是, n 个数(不肯定为正)的算术平均是一个重要的 最小性质, 有广泛的用途, 特殊是在统计中, 就是对于某个未知量 x,我们通过测量获得了它的n 个观测值 xi(i=1,2, ,n);由于测量误差,这些值会略有不同, 那么 x 取什么值才最可信呢?数学王子高 斯的想法是:用 xxi 表示观测值 xi 与抱负值 x 之间的偏差(可正可 负),可以把那个使总偏差最小的值作为抱负值的正确估量;数学中,习惯上把
5、xxi 2 作为不精确性的适当的度量,这样问题就转化为求使 x ix 2 的最小值;特别凑巧, 这个值恰好就是这 n 个观测值的算 ni 1术平均 这是重要的高斯 “最小二乘法 ”的动身点;名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基本不等式的教学过程概录1借助问题情境(赵爽弦图) ,得到 a2+b22ab;老师提示:当a=b 时,有a2b22ab;通过课件,动态演示面积变化情形,直观展现等号成立的条件;师:当 a,b 为任意实数时,上式仍成立吗?你能给出它的证明吗?生:利用完全平方, ab 20,即 a2
6、ab;22ab+b 20,得到 a 2+b 2师:仍有什么方法?(片刻后)证明不等式的常用方法是 “ 作差” ;证明:a2b22abab220,2a2b22 ab . 由证明过程可知:不等式ab2 ab恒成立 . 师:通过刚才的探究, 我们得到了一个对任意实数都成立的不等式a2b22 ab;特殊是 a=b 时,a2b22 ab ;反过来a2b22ab时,定有 a=b;所以我们说当且仅当a=b 时取等号;2探究新知师:当 a0,b0 时,假如用a ,b 替换上述结论中的a,b,能得到什么结论?生:可 得ab2aba0,b0;师:你能证明这个不等式吗?什么时候取等号?同学仿照已有证明,用综合法;老
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