2022年实际问题与二元一次方程组经典例题-针对各类型题型.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载实际问题与二元一次方程组经典例题 目标认知 学习目标:1能够借助二元一次方程组解决简洁的实际问题,再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用 2进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系,体会代数方法的优越性 3体会列方程组比列一元一次方程简洁 4进一步培育化实际问题为数学问题的才能和分析问题,解决问题的才能 5把握列方程组解应用题的一般步骤;重点:1经受和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程;2进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型;难点: 正确找出问题中的两个等量关系 学问要点梳理 学问点一:列方程组解应
2、用题的基本思想 转化为 “ 已知”的重要方法, 它的关键是把已知量和未知量联系起来,列方程组解应用题是把“ 未知”找出题目中的相等关系 . 一般来说,有几个未知数就列出几个方程,所列方程必需满意:1方程两边表示的是同类量; 2同类量的单位要统一;3方程两边的数值要相等 . 学问点二:列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题:1追击问题:追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行;这类问题比较直观,画线段,用图便于懂得与分析;其等量关系式是:两者的行程差开头时两者相距的路程;2相遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行;这类问题也比较直观,因而也画线段
3、图帮忙懂得与分析;这类问题的等量关系是:双方所走的路程之和总路程;3航行问题:船在静水中的速度水速船的顺水速度;船在静水中的速度水速船的逆水速度;船的顺水速度船的逆水速度2 水速;留意: 飞机航行问题同样会显现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似;2工程问题: 工作效率 工作时间 =工作量 . 3商品销售利润问题:1利润售价成本进价 ;2;3利润成本(进价) 利润率;4 标价成本 进价 1利润率 ;5实际售价标价 打折率;留意:“ 商品利润售价成本” 中的右边为正时,是盈利;为负时,就是亏损;打几折就是按标价名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页
4、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载的非常之几或百分之几十销售;(例如八折就是按标价的非常之八即五分之四或者百分之八十)4储蓄问题:1基本概念本金:顾客存入银行的钱叫做本金;本息和:本金与利息的和叫做本息和;利息:银行付给顾客的酬金叫做利息;期数:存入银行的时间叫做期数;利率:每个期数内的利息与本金的比叫做利率;利息税:利息的税款叫做利息税;2基本关系式 利息本金 利率 期数本息和本金利息本金本金 利率 期数本金1利率 期数 利息税利息 利息税率本金 利率 期数 利息税率;税后利息利息1利息税率 年利率月利率12 ;留意: 免税利息 =利息5配套问题:解这类问题
5、的基本等量关系是:总量各部分之间的比例 6增长率问题:=每一套各部分之间的比例;解这类问题的基本等量关系式是:原量1增长率 增长后的量;原量1削减率 削减后的量 . 7和差倍分问题:解这类问题的基本等量关系是:较大量较小量余外量,总量倍数 倍量 . 8数字问题:解决这类问题,第一要正确把握自然数、奇数、偶数等有关概念、特点及其表示;如当 n 为整数时,奇数可表示为 2n+1或 2n-1,偶数可表示为 2n 等,有关两位数的基本等量关系式为:两位数 =十位数字10+个位数字9浓度问题: 溶液质量 浓度 =溶质质量 . 10几何问题: 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等运算公
6、式11年龄问题: 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,12优化方案问题:两人的年龄差是永久不会变的在解决问题时,经常需合理支配;需要从几种方案中,挑选正确方案,如网络的使用、到不同旅行社 购票等,一般都要运用方程解答,得出正确方案;留意: 方案挑选题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点 学问点三:列二元一次方程组解应用题的一般步骤,比较几种方案得出正确方案;列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答” 七步 .即:(1)审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数;(2)设:依据题意设元(3)找:找出能够表示题意两个相等关系;名师
7、归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载(4)列:依据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组;(5)解:解这个方程组,求出两个未知数的值;(6)检:检查所求的解是否符合实际问题 ; (7)答:在对求出的方程的解做出是否合理判定的基础上,写出答案 . 要点诠释:1解实际应用问题必需写“ 答”理,不符合题意的解应当舍去;,而且在写答案前要依据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合2“ 设” 、“ 答” 两步,都要写清单位名称;3一般来说,设几个未知数就应当列出几个方程并组成方程组 . 解答步骤简记为:问
8、题 方程组 解答4列方程组解应用题应留意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系;审题时,留意从文字,图表中获得有关信息;留意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列 方程组与解方程组时,不要带单位;正确书写速度单位,防止与路程单位混淆;在查找等量关系时,应留意挖掘隐含的条件;列方程组解应用题肯定要留意检验;经典例题透析类型一:列二元一次方程组解决 行程问题1甲、乙两地相距 160 千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1 小时 20分相遇 . 相遇后, 拖拉机连续前进,汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回,在汽车再次动身半小时后追上了拖拉机 . 这
9、时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?思路点拨: 画直线型示意图懂得题意:1 这里有两个未知数:汽车的行程;拖拉机的行程 . 2 有两个等量关系:相向而行:汽车行驶小时的路程拖拉机行驶小时的路程 160 千米 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 同向而行:汽车行驶精品资料欢迎下载小时的路程 . 小时的路程拖拉机行驶解: 设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米 . 依据题意,列方程组解这个方程组,得 :. 答:汽车行驶了165 千米,拖拉机行驶了85 千米 . 总结升华: 依据题意画出示意图,再依据路程
10、、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用 的解决策略;2 在某条高速大路上依次排列着A、B、C三个加油站, A到 B 的距离为 120 千米, B 到 C的距离也是 120 千米分别在 A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速大路逃离现场,正在 B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立刻以相同的速度分别往 A、C两个加油站驶去,结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追逐上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x、y 千米 / 时,就3
11、 x y 120,x y 120x y 40整理得,x y 120x 80解得y 40因此,巡逻车的速度是 80 千米 / 时,犯罪团伙的车的速度是 40 千米 / 时点评:“ 相向而遇” 和“ 同向追及” 是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原先的距离以及行走的时间,详细表现在:“ 相向而遇” 时,两者所走的路程之和等于它们原先的距离;“ 同向追及” 时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原先的距离举一反三:名师归纳总结 - - - - - - -【变式 1】甲、乙两人相距36 千米,相向而行,假如甲比乙先走2 小时,那么他们在乙
12、动身2.5 小时后相遇;假如乙比甲先走2 小时,那么他们在甲动身3 小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米?解: 设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米;依据题意可得:第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解得:答:甲每小时走6 千米,乙每小时走3.6 千米;14 小时,逆流用20 小时,求船在静水中【变式 2】两地相距280 千米,一艘船在其间航行,顺流用的速度和水流速度;分析:船顺流速度静水中的速度水速船逆流速度静水中的速度水速解:设船在静水中的速度为 x 千米 / 时,水速为 y 千米 / 时,就,解得:答:船在静水中的速度为 17
13、千米 / 时,水速 3 千米 / 时;跟踪训练1、甲、乙两人在东西方向的大路上行走,甲在乙的西边300 米,如甲、乙两人同时向东走30 分钟后,甲正好追上乙;如甲、乙两人同时相向而行,2 分钟后相遇,问甲、乙两人的速度是多少?甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步,相向而行每隔两分钟相遇一次;同向而行,每隔 6 分相遇一次,已知甲比乙跑的快,求甲乙每分钟跑多少圈?类型二:列二元一次方程组解决 工程问题1 一批机器零件共 840 个,假如甲先做 4 天,乙加入合做,那么再做 8 天才能完成;假如乙先做 4 天,甲加入合做,那么再做 9 天才能完成,问两人每天各做多少个机器零件?分析:由题意得甲做 1
14、2 天,乙做 8 天能够完成任务;而甲做 9 天,乙做 13 天也能完成任务,由此关系我们可列方程组求解设甲每天做 x 个机器零件,乙每天做 y 个机器零件,依据题意,得 4 8 x 8 y 8409 x 4 9 y 840x 50解得:y 30答:甲每天做 50 个机器零件,乙每天做 30 个机器零件2 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,依据这个服装厂原先的生产名师归纳总结 才能,每天可生产这种服装150 套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4 ;现在工 5第 5 页,共 16 页厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200 套,这样不
15、仅比规定时间少用1 天,而且比订货量多生产25 套,求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?分析:设订做的工作服是x 套,要求的期限是y 天,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 依题意,得150y精品资料25,欢迎下载4 x5x200y1解得xy3375=工作时间 工作效率”其次留意当题目与工作18点评:工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“ 工作量以及它们的变式“ 工作时间=工作量 工作效率,工作效率=工作量 工作时间”量大小、多少无关时,通常用“1” 表示总工作量举一反三:【变式】 小明家预备装修一套新住房,如甲、乙两个装饰公司合
16、作 6 周完成需工钱 5.2 万元;如甲公司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,仍需 9 周完成,需工钱 4.8 万元 . 如只选一个公司单独完成,从节省开支的角度考虑,小明家应选甲公司仍是乙公司?请你说明理由 . 解: 设甲、乙两公司每周完成总工程的 和,由题意得:, 解得:所以甲、乙单独完成这项工程分别需要 10 周、 15 周;设需要付甲、乙每周的工钱分别是 万元,万元,依据题意得:,解得:故甲公司单独完成需工钱:(万元);乙公司单独完成需工钱:(万元);答:甲公司单独完成需 6 万元,乙公司单独完成需 4 万元,故从节省的角度考虑,应选乙公司单独完成. 跟踪训练1、一千零一夜 中有这
17、样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食,树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说:“ 如从你们中飞上来一只,就树下的鸽子就是整个鸽群的 1/3 ,如从树上飞下去一只,就树上、树下的鸽子就一样多了;” 你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?类型三:列二元一次方程组解决 商品销售利润问题1 一件商品假如按定价打九折出售可以盈利 20%;假如打八折出售可以盈利 10 元,问此商品的定价是多少?名师归纳总结 分析:商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x 元,进价为y 元,就打九折时第 6 页,共 16 页的卖出价为0.9x元,获利 0.9x-y元,因此得方程0.9x
18、-y=20%y ;打八折时的卖出价为0.8x 元,获利0.8x-y元,可得方程0.8x-y=10. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解方程组0.9 x精品资料y欢迎下载y20%,0.8 xy10解得x200,=售价 - 进价;二是:利润=y150因此,此商品定价为200 元总结:利润率是相对于进价而言的,利润的运算一般有两种方法,一是:利润进价 利润率特殊留意“ 利润” 和“ 利润率” 是不同的两个概念2 有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元;价格调整后,甲商品的利润率为 4%,乙商品的利润率为 5%,共可获
19、利 44 元,就两件商品的进价分别是多少元?思路点拨 :做此题的关键要知道:利润进价 利润率解:甲商品的进价为 x 元,乙商品的进价为 y 元,由题意得:,解得:答:两件商品的进价分别为 600 元和 400 元;举一反三:【变式 1】( 2022 湖南衡阳)李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利 18000 元,其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元,乙种蔬菜每亩获利 1500 元,李大叔去年甲、 乙两种蔬菜各种植了多少亩?解:设李大叔去年甲种蔬菜种植了 亩 ,乙种蔬菜种植了 亩,就:,解得名师归纳总结 答:李大叔去年甲种蔬菜种植了 6 亩,乙种蔬菜种植了4 亩6 万元,其进价和
20、售价如下表:第 7 页,共 16 页【变式 2】某商场用36 万元购进 A、B 两种商品,销售完后共获利A B 进价(元 / 件)1200 1000 售价(元 / 件)1380 1200 (注:获利 = 售价 进价)求该商场购进A、B 两种商品各多少件;解:设购进A 种商品件, B种商品件,依据题意得:- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 化简得:精品资料欢迎下载解得:答:该商场购进A、B 两种商品分别为200 件和 120 件;跟踪训练1、打折前, 买 60 件 A 商品和 30 件 B商品用了 1080 元,买 50 件 A 商品和 10 件 B 商品
21、用了 840 元,打折后,买 50 件 A 商品和 50 件 B 商品用了 960 元,比不打折少花多少钱?2、有甲、乙两种债券,年利率分别是10与 12,现有 400 元债券,一年后获利45 元,问两种债券各有多少?类型四:列二元一次方程组解决 银行储蓄问题4小明的妈妈为了预备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱,一种是年利率为 2.25 的训练储蓄,另一种是年利率为 2.25 的一年定期存款,一年后可取出 2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?(利息所得税利息金额20%,训练储蓄没有利息所得税)思路点拨:设训练储蓄存了 x 元,一年定期存了 y 元,我们
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