2022年圆锥曲线与方程专题:圆锥曲线的综合问题.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载圆锥曲线与方程专题复习第四节圆锥曲线的综合问题. 如四考点一椭圆与双曲线综合中基本量的运算问题1.2022 年浙江卷 , 文 9 如图 ,F 1,F 2是椭圆 C1:x2+y2=1 与双曲线C2 的公共焦点 ,A,B 分别是 C1,C 2在其次、四象限的公共点4边形 AF1BF2为矩形 , 就 C2 的离心率是 A2 B3 C3 D622解析 : 由椭圆定义得 ,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=24 1 =23 ,由于四边形 AF1BF2为矩形 ,所以 |AF1|2+|AF 2|2=|F 1F2|2=12,1|2+|
2、AF2|2=16-12=4,所以 2|AF1|AF2|=|AF1|+|AF2|2-|AF所以 |AF 2|-|AF1|2=|AF 1|2+|AF 2|2-2|AF1|AF2|=12-4=8,所以 |AF 2|-|AF1|=22 ,因此对于双曲线有a=2 ,c=3 ,所以 C2的离心率 e=c a=6.2应选 D.答案 :D2.2022 年山东卷 , 理 10 已知椭圆 C:x2+y2=1ab0 的离心率为3. 双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆C 有四个交点 , 以这a22 b2四个交点为顶点的四边形的面积为16, 就椭圆 C的方程为 Dx2+y2=1Ax2+y2=1 Bx2+y2=1Cx
3、2+y2=1 26420581216解析 : 利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.椭圆的离心率为3,2c a=a2b2=3,a2a=2b.名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆方程为x2+4y2=4b 2.精品资料欢迎下载双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为x y=0,2 5b,2 5b,渐近线 x y=0 与椭圆 x2+4y 2=4b2在第一象限的交点为55由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 5b2 5 5b=4,+y2=1.5b2=5,a2=4b2=20.椭圆 C 的方程为x2205应
4、选 D.答案 :D3.2022 年浙江卷 , 文 8 如下列图 , 中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点. 如 M,O,N将椭圆长轴四等分, 就双曲线与椭圆的离心率的比值是 2 A3 B2 C3D解析 : 设椭圆的标准方程为x2+y2=1ab0, 半焦距为 c 1,2b2a就椭圆的离心率为e1=1c.a设双曲线的标准方程为x2-y2=1m0,n0, 半焦距为 c2,m2n2就双曲线的离心率为e2=c2.m由双曲线与椭圆共焦点知c 1=c2.由点 M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即 2m=a.e 2=c 2=a m=2.m c 1e 1a应选 B.答案 :B名
5、师归纳总结 4.2022 年浙江卷 , 文 9 已知椭圆 C1:x2+y2=1ab0 与双曲线 C2:x2-y2=1 有公共的焦点 ,C 2的一条渐近线与以C1的长轴为第 2 页,共 13 页a2b24直径的圆相交于A,B 两点 . 如 C1 恰好将线段 AB三等分 , 就 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Aa2=13 2 Ba2=13精品资料欢迎下载2=2Cb2=1 2 Db解析 : 双曲线渐近线方程为y= 2x,圆的方程为 x2+y 2=a2,就|AB|=2a, 不妨设 y=2x 与椭圆交于 P、 Q两点 , 且 P 在 x 轴上方 ,就由已知
6、|PQ|=1 3|AB|=2 a ,3.|OP|=a , 3P5 a,2 51515又点 P 在椭圆上 ,5 a2+20a2=1. 应选 C.225225a2b2又 a2-b2=5,b2=a 2-5, 联立解得a211, 2b21 . 2答案 :C名师归纳总结 5.2022 年山东卷 , 文 15 已知双曲线x2-y2=1a0,b0 和椭圆x2+y2=1有相同的焦点 , 且双曲线的离心率是椭圆离心率的第 3 页,共 13 页a22 b169两倍 , 就双曲线的方程为. 7 ,0,F27 ,0,离心率为 e=7 4.解析 : 椭圆x2+y2=1 的焦点坐标为F1-169由于双曲线x2-y2=1
7、与椭圆x2+y2=1 有相同的焦点 ,2b29a16因此 a 2+b2=7.又双曲线的离心率e=a2b2=7,aa所以7=2 7 4,a所以 a=2,b2=c2-a2=3,故双曲线的方程为2 x-y2=1.43- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 :x2-y2=1精品资料欢迎下载43考点二椭圆与抛物线综合问题及解法,1.2022 年山东卷 , 理 21 在平面直角坐标系xOy中,F 是抛物线 C:x2=2pyp0 的焦点 ,M 是抛物线 C上位于第一象限内的任意一点过 M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点 Q到抛物线 C的准线的距离为3.41 求抛物线
8、 C 的方程 ;2 是否存在点M,使得直线 MQ与抛物线C相切于点 M.如存在 , 求出点 M的坐标 ; 如不存在 , 说明理由 .3 如点 M的横坐标为2 , 直线 l:y=kx+1与抛物线 C有两个不同的交点A,B,l与圆 Q有两个不同的交点D,E, 求当1 2k 24时,|AB|2+|DE|2 的最小值 .解:1 依题意知 F 0,p, 圆心 Q在线段 OF的垂直平分线y=p 上 , 42由于抛物线 C 的准线方程为y=-p , 2所以3 p = 34 4,即 p=1.因此抛物线 C 的方程为 x2=2y.2 假设存在点Mx 0,2 x 0 x00满意条件 , 抛物线 C在点 M处的切线
9、斜率为yx x 0=x2x x 0=x0,22所以直线 MQ的方程为 y-2 x 0=x 0x-x0.2令 y=1 4得 x Q=x 0+1.24x 0所以 Q(x0+10,1 4) .24x又|QM|=|OQ|,故(10-x0)2+( 1 4-2 x 0)2=(10+x0)2+ 1 16,4x224x2因此(1 4-2 x 0)2= 9 16.2又 x 00,名师归纳总结 所以 x0=2 , 此时 M2 ,1.第 4 页,共 13 页故存在点 M2 ,1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载使得直线 MQ与抛物线 C 相切于点 M.名
10、师归纳总结 3 当 x 0=2 时, 由 2 得 Q(5 2 8,1 4),.第 5 页,共 13 页Q的半径为 r=5 2212=3 6 8,84所以 Q的方程为( x-5 2 8)2+(y- 1 4)2= 27 32由y1 2x2,ykx1.4整理得 2x2-4kx-1=0.设 A,B 两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,由于 1=16k2+80,x 1+x2=2k,x 1x2=- 1 2,所以 |AB|2=1+k2x1+x 22-4x1x 2=1+k24k2+2.由x5 22y1227 , 3284ykx14整理得 1+k2x2- 5 2 4x-1 16=0.设 D,E 两点的坐标分
11、别为x 3,y3,x4,y4,由于 2=k2+27 80,x 3+x4=5 22,44 1kx3x 4=-1k2.16 1所以 |DE|2=1+k2x3+x 42-4x3x 4=252+1 4.8 1k因此 |AB|2+|DE|2=1+k24k2+2+252+1 48 1k令 1+k2=t,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于1 2k2,2=t4t-2+25+1 4精品资料欢迎下载就5 4 t 5,所以 |AB|2+|DE|8t=4t2-2t+ 25 8t+1 4,设 gt=4t2-2t+ 25 8t+1 4,t 5 ,5 4,x2+y2=1ab0
12、的左焦点为 F1-1,0,且点 P0,1 在 C1 上.由于 gt=8t-2-25,8t2所以当 t 5 ,5 4时 ,g t g5=6,4即函数 gt在 t 5 ,5 4上是增函数 ,所以当 t=5 4时,gt取到最小值13 2,因此 , 当 k=1 2时,|AB|2+|DE|2 取到最小值 13 2.2.2022 年广东卷 , 文 20 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆 C1:22ab1 求椭圆 C1 的方程 ;2 设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y 2=4x 相切 , 求直线 l 的方程 . 解:1 由于椭圆 C1的左焦点为 F1-1,0, 所以 c=1.将点 P0,1
13、 代入椭圆方程2 x+y2=1,0,a2b2得1=1, 即 b=1.2 b所以 a 2=b2+c2=2.所以椭圆 C1的方程为2 x+y2=1.22 由题意可知 , 直线 l 的斜率明显存在且不等于设直线 l 的方程为 y=kx+m,名师归纳总结 由x2y21,第 6 页,共 13 页2ykxm ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 消去 y 并整理得 1+2k2x2+4kmx+2m 2-2=0.精品资料欢迎下载由于直线 l 与椭圆 C1相切 ,所以 1=16k2m 2-41+2k22m2-2=0.2x2+2km-4x+m2=0.整理得 2k2-m 2+
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