函数值域的十五种求法.doc

.\ 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域 例1. 求函数的值域。 解：∵∴ 显然函数的值域是： 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例2. 求函数的值域。 解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时， 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例3. 求函数的值域。 解：两边平方整理得：（1） ∵∴ 解得： 但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵∴ ∴代入方程（1） 解得：即当时， 原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4. 求函数值域。 解：由原函数式可得： 则其反函数为：，其定义域为： 故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例5. 求函数的值域。 解：由原函数式可得：，可化为： 即 ∵∴ 即解得： 故函数的值域为 6. 函数单调性法 例6. 求函数的值域。 解：令则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数 当x=2时， 当x=10时， 故所求函数的值域为： 例7. 求函数的值域。 解：原函数可化为： 令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数 所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然y>0，故原函数的值域为 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作 例8. 求函数的值域。 解：因 即 故可令 ∴ ∵ ∴ ∴ 故所求函数的值域为 例9. 求函数的值域。 解：原函数可变形为： 可令，则有 ∴ 当时， 当时， 而此时有意义。 故所求函数的值域为 例10. 求函数，的值域。 解： 令，则 由且 可得： ∴当时，，当时， 故所求函数的值域为。 例11. 求函数的值域。 解：由，可得 故可令 ∵∴ 当时， 当时， 故所求函数的值域为： 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址www.yaoxuexi.cn手机版地址 wap.yaoxuexi.cn] 例12. 求函数的值域。 解：原函数可化简得：y=|x-2|+|x+8| 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(-8)间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|+|x+8|=|AB|=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x-2|+|x+8|>|AB|=10 故所求函数的值域为： 例13. 求函数的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，， 故所求函数的值域为 例14. 求函数的值域。 解：将函数变形为： 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。 即：y=|AP|-|BP| 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成△ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由例13，14可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例13的A，B两点坐标分别为：（3，2），(-2,-1)，在x轴的同侧；例14的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,-1)，在x轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例15. 求函数的值域。 解：原函数变形为： 当且仅当tanx=cotx 即当时，等号成立 故原函数的值域为： 例16. 求函数y=2sinxsin2x的值域。 解：y=4sinxsinxcosx 当且仅当，即当时，等号成立。 由可得： 故原函数的值域为： 10. 映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例17. 求函数的值域。 解：∵定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 11．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址www.yaoxuexi.cn手机版地址 wap.yaoxuexi.cn] 例18.已知,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵，上述分式不等式与不等式同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得(-1≤x≤3/2), ∴且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。 12. 构造法 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例19.求函数的值域。 点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,,。 由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。 13． 比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。 例20.已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数的值域。 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴。 当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，。 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。 14． 利用多项式的除法 例21.求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 15. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。 解：令，则 （1）当t>0时，，当且仅当t=1，即x=-1时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。 解： 令，则 ∴ ∴当时， 当时， 此时都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。