函数定义域值域求法(全十一种).doc

.\ 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 或。 ③ 由②解得 或 ④ ③和④求交集得且或x>5。 故所求函数的定义域为。 例2 求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 ③ 由②解得 ④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1） 已知的定义域，求的定义域。 （2） 其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。 例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。 解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。 （2）已知的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为。 即函数f(x)的定义域是。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R； 当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是 综上可知。 评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。 例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。 解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数 ①当k≠0时，恒成立，解得； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。 综上k的取值范围是。 四、实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。 例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。 解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。 。 由问题的实际意义，知函数的定义域应满足 。 故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。 例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。 解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。 因为CD=AB=2x，所以，所以， 故 根据实际问题的意义知 故函数的解析式为，定义域（0，）。 五、参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9 已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。 解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集： ，即 即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知 （1）当时，F（x）的定义域为； （2）当时，F（x）的定义域为； （3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。 六、隐含型 有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。 例10 求函数的单调区间。 解：由，即，解得。即函数y的定义域为（－1，3）。 函数是由函数复合而成的。 ，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增； ，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。 函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。 解：∵ ∴ 显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。 解：∵ 故函数的值域是： 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。 解：将函数配方得： ∵ 由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。 解：原函数化为关于x的一元二次方程 （1）当时， 解得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域为 例5. 求函数的值域。 解：两边平方整理得：（1） ∵ ∴ 解得： 但此时的函数的定义域由，得 由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ 代入方程（1） 解得： 即当时， 原函数的值域为： 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。 解：由原函数式可得： 则其反函数为：，其定义域为： 故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。 解：由原函数式可得： ∵ ∴ 解得： 故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。 解：由原函数式可得：，可化为： 即 ∵ ∴ 即 解得： 故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。 解：令 则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数 当x=2时， 当x=10时， 故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域。 解：原函数可化为： 令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数 所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然，故原函数的值域为 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。 解：令， 则 ∵ 又，由二次函数的性质可知 当时， 当时， 故函数的值域为 例12. 求函数的值域。 解：因 即 故可令 ∴ ∵ 故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。 解：原函数可变形为： 可令，则有 当时， 当时， 而此时有意义。 故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。 解： 令，则 由 且 可得： ∴当时，，当时， 故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。 解：由，可得 故可令 ∵ 当时， 当时， 故所求函数的值域为： 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。 解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。 解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，， 故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。 解：将函数变形为： 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。 即： 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。 解：原函数变形为： 当且仅当 即当时，等号成立 故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。 解： 当且仅当，即当时，等号成立。 由可得： 故原函数的值域为： 10. 一一映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。 解：∵定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。 解：令，则 （1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。 综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。 解： 令，则 ∴当时， 当时， 此时都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。