复合函数学习总结复习材料.doc
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1、*课次教学计划(教案)课题复合函数教学目标掌握复合函数的复合过程,定义域,值域,单调性与奇偶性的求法一、复合函数的构成设是到的函数,是到上的函数,且,当取遍中的元素时,取遍,那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明:复合函数的定义域,就是复合函数中的取值范围。称为直接变量,称为中间变量,的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。例1设函数,求若的定义域为,则复合函数中,注意:的值域解复合函数题的关键之一是写出复合过程例1:指出下列函数的复合过程。(1)y=2-x2 (2)y=sin3x (3)y=3cos1-x2解:() y=2-x2是由y=u,u=2-x2复
2、合而成的。 (2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x复合而成的。 (3)y=3cos1+x2是由y=3cosu,u=r,r=1-x2复合而成的。例2:复合函数的定义域问题若函数的定义域是0,1,求的定义域;若的定义域是-1,1,求函数的定义域;已知定义域是,求定义域要点1:解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答:函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数函数的定义域是0,1,B=0,1,即函数的值域为0,1,即,函数的定义域0,函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1,1,A=-1,1,即-1,,即的值域是
3、-3,1,的定义域是-3,1要点2:若已知的定义域为,则的定义域就是不等式的的集合;若已知的定义域为,则的定义域就是函数 的值域。函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-4,5),A=-4,5)即,即的值域B=-1,8)又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数,而,从而的值域的定义域是1,)练习:1,已知f(x)的定义域为0,1,求f(2x-1)的定义域。2,已知f(2x-1)的定义域为0,1,求f(x)的定义域。3,已知f(x+3)的定义域为,,求f(2x-5)的定义域。说明: 已知的定义域为(a,b),求的定义域的方法:已知的定义域为,求的定义域。实际上是已知
4、中间变量的的取值范围,即,。通过解不等式求得的范围,即为的定义域。已知的定义域为(a,b),求的定义域的方法:若已知的定义域为,求的定义域。实际上是已知复合函数直接变量的取值范围,即。先利用求得的范围,则的范围即是的定义域,即使函数的解析式形式所要求定义域真包含的值域,也应以的值域做为所求的定义域,因为要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数,否则所求外含数将失去解决问题的有效性。2求有关复合函数的解析式,例6已知 求;已知 ,求例7已知 ,求; 已知,求要点3:已知求复合函数的解析式,直接把中的换成即可。已知求的常用方法有:配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整
5、体的表达式,再直接把换成而得。换元法就是先设,从中解出(即用表示),再把(关于的式子)直接代入中消去得到,最后把中的直接换成即得,这种代换遵循了同一函数的原则。例8已知是一次函数,满足,求;已知,求要点4: 当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式,则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知满足某个等式,这个等式除是未知量外,还出现其他未知量,如、等,必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组,通过解方程组求出。解析式的求法 练习1. 代入法例1、,求2. 待定系数法例2、二次函数满足,且的两实根平方和为10,图像过点,求解析式3. 换元法例3、,
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