概率论与数理统计必会ppt课件.ppt
《概率论与数理统计必会ppt课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计必会ppt课件.ppt(87页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、1概率论与数理统计总复习 一、内容提要 二、典型例题2随机试验可能结果基本事件Ai不含任何Ai任何组合iiA事件A不可能必然完备事件组Ai0)(ijiApjiAAiiA等概完备事件组nAPi1)(ni,2 , 1 贝努利试验独立试验 概型只有两个可能结果n次重复古典概型条件: n次试验中 A发生k次nkqpCkXPknkkn, 2 , 1pAP)(B由其中m个事件组成公式nmBP)((一)概念之间的关系(一)概念之间的关系一、一、随机变量与概率随机变量与概率31、运算关系、运算关系包含包含: A 则 B 相等相等: A = B和和:至少有一个发 生 AUB积积:同时发生 ABBAABBA且AB
2、SABA、B不相容BAA、B 对立 记为AB 差: ABB =SA(二)事件的关系(二)事件的关系4除与一般代数式运算相同的法则以外,注意1)对偶律对偶律 2)其他其他3)独立性独立性事件的独立性是由概率定义的;n个事件的独立性要求:ABABABAB()()ABCAB AC21nn个等式成立。(三)(三) 解题方法解题方法1、一般概率、一般概率1) 利用两种概型10 古典20 n重贝努利概型2) 利用事件间的运算2、运算法则、运算法则AAAAAAA5化为事件的和利用对立事件A、B相互独立分解到完备组中: 全概公式利用随机变量及其分布计算。()P AB)()()(ABPBPAP)()(BPAP一
3、般情况AB11P ABP ABP AB 化为事件的积)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情况 1/nkkkP AP B P A B12,nB BB是完备组,62) 用乘法公式1) 在缩减完备组中计算,方法同 1。3) 用贝叶斯公式2 2、条件概率、条件概率)()()/(APABPABP(|)kP BA (1,2, )kn()( )kP ABP A1() (|)nkkkP B P A B() (|)kkP B P A B7一实数值X(i),(一)随机变量的定义(一)随机变量的定义对于随机试验E的每一个可能结果i,的变量,则称实数变量X(i)为一个随机变量,简记为X。注意:注意:1、
4、X 是定义在随机试验结果的集合i 上按试验的不同结果而取不同的值.取值是随机的. 2、在一定的试验下,二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布都唯一地对应着因此X的可以依据我们所关心的结果的数值特征选取 X 所代表的具体意义。3、X 的引入使我们便于研究随机试验的全貌,并使用分析的工具。81、离散型随机变量随机变量 X 的取值可以一一列举(有限或无限)定义定义分布律(分布列分布列) 表示法称X 为离散型随机变量离散型随机变量。(二)随机变量的分布及性质(二)随机变量的分布及性质, 2 , 1kpxXPkk公式法列表法nkknkpppppxxxxX2121性质性质, 2 , 10. 1kxXPk
5、nkkp11. 29定义定义对于随机变量X,若存在非负函数xduufxXPxF)()()(,使对任意实数则称X为连续型随机变量连续型随机变量, Xxf为的密度的密度.都有,xf(x)0 x1其图形:.1)(dxxf ,0 xxf(2) 归一性归一性(1) 非负性非负性密度函数的性质密度函数的性质2 2、连续性随机变量、连续性随机变量),()(xxf212121)()() 3(xxxxdxxfxxxP103、分布函数、分布函数)()(xXPxF)(x为X的分布函数. 记作设 X是一个随机变量,称 .xFX定义定义分布函数的性质分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性:; 1)(lim)(, 0)
6、(lim)(xFFxFFxx000()lim ( )( ).xxF xF xF x3、右连续性右连续性:对任意实数 ,2、归一归一 性性:若 x1x2, 则 F (x1) F (x2);对任意实数x, 0 F(x) 1,且0 x111)分布函数的值表示了X 落在2)离散型: 若分布函数的几点说明分布函数的几点说明)(xF是一个普通的函数,在 )(xFx处),(x内的概率。, 3, 2, 1kpxXPkk xxkkpxFxxkkxXPx由于 xF是X 取的诸值的概率之和,故又称 为累积概率函数为累积概率函数. . xF图形特点:图形特点:是一条有跳跃的上升阶梯形曲线。 xF1xkx3x2xxkp
7、3p2p1p1kx123 3) X为连续性随机变量为连续性随机变量f (x)0 xx)(xF 1221)(xFxFxXxP21)(xxtdtf21xx 在 的连续点处,xf xFxff (x)x01x2xxdttfxXPxF)()()(133)把Y的分布用表(离散型)或Y的密度(连续性)1、问题:若YX,之间的事件等价关系。关系和分布函数关系。是随机变量,表述出来。其中已知X 的分布,求的分布。2、基本方法4、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布).(XY)(xy是 x的函数。)(XY研究1)由)(XYYX,2)由YX,之间的事件的关系再求YX,之间的分布3、具体讨论14则当若若X的分布律的
8、分布律., 2 , 1nkpxXPkk).(XY)(kkxYyY)(jiyyji)(kkxXyYkkpyYPllkkyxxy)()(当则)()(lkkxXxXyYlklKkppxXPxXPyYP)()(lk 1) 离散型离散型 kiyxgikpyYP)()(推广得:15及有关函数表述出来。求)()(yhXyXgyY其为等价的事件).(YhX 将( )F y用 ( )F h y利用求出Y的密度函数。2 2) 连续性连续性设 X是一个取值于区间ba,具有概率密度 其他0)(bxaxxf的连续型随机变量, XgY )(yf)()(yfyF其他0)()()()(yyhyhyhFyf16性质:性质:(一
9、)二维随机变量(一)二维随机变量(X,Y) 的分布函数的分布函数yx,定义定义对于任意实数二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数的联合分布函数。或称为X和Y 三、二维随机变量及其分布三、二维随机变量及其分布,),(yYxXPyxF,1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF2.且yxF,. 1是变量的不减函数。yx,2121yXyxXxP,1222yxFyxF,1121yxFyxF,17YX,(二)离散型(二)离散型的所有可能取值为, 2 , 1,),(jiyxji设则jijipyYxXP,2,1,ji和Y的联合分布列联合分布列。),(YX称为二维随机
10、变量的分布列分布列, 或随机变量X:性质 10jiijyYxXPp,有:性质 2,对任意的21jiji(非负性)(非负性)(归一性)(归一性)1jijip xxyyijiipyYxXPyxF,),(的联合分布函数为,则YX18二维离散型随机变量的联合分布列二维离散型随机变量的联合分布列下表表示的联合分布列也可以由,YXX Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij . .x1 x2xi关于Y的i边缘分布1()PY y()jP Yy关于X的边缘分布j11()p X xp()iip Xxp19(X,Y ) )的边缘分布的边缘分布
11、),(YXjijipyYxXP,2,1,ji1jjiipxXP,2,1i设的分布列为 :),(YXX则则关于关于的边缘分布列为1ijijpyYP,2,1j1jjiipp,2,1i1ijijpp,2,1j),(YXY关于的边缘分布列为:分别记20( (三)连续型三)连续型总有 ),(YX, ),(yxF),(yxfyx, yxdvduvufyxF),(),(的联合概率密度。),(yxfXY),(YX其具有以下性质:定义定义 设二维随机变量的分布函数为,对任意实数为的概率密度,或称为随机变量和对于非负可积的函数0),() 1 (yxf(非负性)(非负性)(归一性)(归一性)),(),()3(2yx
12、fyxyxFGdxdyyxfGYXP)( ,),()4(1),(),()2(Fdyyxfdx21的关于X 和Y 的边缘概率密度。定义定义 设),(YX),(yxf是的联合密度函数,则分别是),(YX边缘概率密度边缘概率密度 dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(22均有),(YXyx,yYPxXPyYxXPXY(四)两个随机变量的独立性(四)两个随机变量的独立性若二维随机变量对任意的实数成立,则称随机变量与是相互独立相互独立的。若记yYBxXA且 BPAPABP成立,可见X,Y 相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。判断X,Y 相互独立的办法:,jijiyYPxXPyY
13、xXP)()(),(yfxfyxfYX23),(222121N),(YX其的概率密度为2222212121212)()( )(2)()1 (21221121),(yyxxeyxf 的边缘概率密度分别为YX,21212)(121)(xXexfx22222)(221)(yYeyfy)()(),(yfxfyxfYX024四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征(一)数学期望(一)数学期望 E X定义定义EX1nkkkx pX为离散型X为连续型若)(XYEY1()nkkkxpX为离散型( ) ( )x p x d xX为连续型., 2 , 1nkpxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数
14、为).(xfdxxfx)(25若若 (X,Y ) 有联合密度dxxxfdyyxfxdxXEX)(),()(dyyyfdxyxfydyYEY)(),()().,(yxf),(YXZdyyxfyxdxZE),(),()(26期望的性质期望的性质nEXEXEXXXXE2121)(nXXX,211()nkkkEC XbCEC . 1其中 C 为常数。2. 对于任何常数1,2, .kCkn及 b.1()nkkkC E Xnb3. 若相互独立, 则27 knkkpEXx12)(定义定义2)(EXXEDX计算公式(二)方差(二)方差., 2 , 1nkpxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为)
15、.(xfDXX为离散型X为连续型22)()(EXXEDXDXEXXE22)()(dxxfEXx)()(22812,nXXX2121)(DXDXXXD1()nkkkDC Xb0. 1Dk其中 k 为常数。3. 对于任何常数., 2 , 1nki及 b.21nkkkC DX相互独立, 则方差的性质方差的性质DXkkXD2)(. 2DXkbkXD2)(29均匀分布泊松分布二项分布0-1分布参数范围方差均值概率分布名称kkqpkXP1)(. 1 , 0k()kknknP XkCp q., 2 , 1 , 0nk()!keP Xkk., 2 , 1 , 0nkotherbxaabxp01)(npnpq1
16、0 ppq10ppq10 ppq12ba12)(2abba ( (三三) )常用的六个分布常用的六个分布( , )XB n p),(baUX( )X 指数分布000)(xxexpx0121)(EX(1, )XBp30标准正态分布参数范围方差均值概率分布名称01( (三三) )常用的六个分布常用的六个分布) 1 , 0( NX正态分布),(2NX2任意022()21( )2xp xex 221( )2xxex 31称为标准化的随机变量,有2、正态分布随机变量函数的标准化、正态分布随机变量函数的标准化.n. 1knkknqpCkXP )(),(2NX!keknp)1 ,0(2NXX)(x表可查。注
17、意注意32COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),(YXCOV()()ijijijxEXyEY pdxdyyxfEYyEXx,)(),(YXCOV若随机变量 X, Y 为离散型.若随机变量 X, Y 为连续型.协方差协方差DYDXEYYEXXEXY)(DYEYYDXEXXE相关系数相关系数COV( X,Y )E( XY ) EXEY一般计算公式33COV( X,Y )E(XY) EXEY可见,可见,()E XYEX EY存在的必要条件为COV( X,Y ) 0 .即即0),(DYDXYXCovXY定义:定义: 若0),(YXCOV可见,若X与Y 独立,(, )0.OVCX Y
18、 称称X与与Y不相关。不相关。 D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ) D(X士Y) = D X + DY即即341. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ;3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常数;4. COV( X1+X2 ,Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).二、协方差与相关系数的性质二、协方差与相关系数的性质2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ;COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y )1XY5.5.35),()()(YEXEXYE2 2), 0),( YX
19、Cov3 3)),()()(YDXDYXD4 4), 0 XY 1 1)相关系数)相关系数则称则称X与与Y不相关;不相关;四个等价命题:四个等价命题:36或2,DXEX方差,022/|XP22/1|XP(一)(一) 切比雪夫不等式切比雪夫不等式五、大数定理与中心极限定理五、大数定理与中心极限定理设对任意不等式成立, 则称此式为切比切比雪雪夫不等式夫不等式切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律niniiinXEnXnP111| )(11|lim独立同分布下的大数定律1|1|lim1 niinXnP贝努里大数定律贝努里大数定律1|limpnnPAn37lim1xnnXPniin2-t2-1edt( )2
20、xx之和总可以近似服从正态分布.(二)独立同分布下的中心极限定理(二)独立同分布下的中心极限定理设X1,X2, Xn , 相互独立,且服从同一分布,具有相同的期望和方差., 2 , 12nkXDXEkk则此定理表明此定理表明,无论,21nXXX原来服从什么分布, 当n 充分大时,1, 01NnnXnii21,nnNXnii即38lim (1)nYnpPxnppdtext2221(三)棣莫夫拉普拉斯中心极限定理(三)棣莫夫拉普拉斯中心极限定理Y设随机变量10),( ppnB则对任意的,有x x1nkkYX)()(npqnpanpqnpb此定理的常用公式有:kkn kna k bP aYbC p
21、q P Yb1)(2npqnpb39数理统计数理统计一、一、 总体和样本总体和样本 一个统计问题总有它明确的研究对象.总体总体 个体个体总体中每个成员(元素)称为个体.所抽取的部分个体称为样本样本.组成样本的个体称为样品样品。1、样本均值nkkXnX11设nXXX,21是来自总体X的一个样本,2、样本方差nkkXnXn122)(11nkkXXnS122)(11niiXXnSS122)(11样本标准差:40二、极大似然估计法二、极大似然估计法: :nXX,1设是的一个样本值nxx,1);,()(1 nxxLL , );(1Dxpnii),( iixpxXP nXX,1, );(1 niixp ,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 ppt 课件
限制150内