大连理工大攻读硕士分析研究生入学考试-高等代数试题及其参考总结解答.doc
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1、.*2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)1. 设是有理数域上的不可约多项式,为在复数域内的一个根,则的重数为 1 2. 阶行列式.3. 设、均为维列向量:,则可逆,.4. 设向量组线性无关,则线性 相关.5. 设是阶矩阵,秩,非齐次线性方程组有解,则的解向量组的秩为.6. 设、均为实数,二次型、满足条件时,为正定二次型. 7. 设是由矩阵的全体实系数多项式组成的线性空间,其中, 其中,则的一组基是.8. 设是数域上的一维线性空间,写出上的所有线性变换 : 取定的一个非零向量,则的全部线性变换形如,其中是中任一取定的数.9. 正交矩阵的实特征值
2、为.10. 设为群,、分别是的子群, 、的阶分别是、,且、互素,令,则元素的阶为 . 二、(10分) 设是数域上的多项式,证明:在数域上,若,则.参考解答:若中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设,且是的标准分解式,其中是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式,都是正整数.任取的一个不可约因式,由于,利用多项式整除的传递性,得.由于是不可约多项式,故,进一步可知, , 对某个及.于是我们可以设, 其中是非负整数.从知,存在多项式,使得,即.由此推出,即,.因此由多项式整除的定义知,.3、 (15分) 设为级矩阵,且秩秩,证明:对任意自然数,有秩=秩.参考解答:对作数学归纳法.当
3、时结论显然成立.假设时结论成立,即rankrank.令, 那么显然有.从rankrank知dim=rankrankdim于是=.任取,即,亦即,那么.于是.进一步有,这表明,从而.因此, .于是rankdim=dimdim rank. 4、 (15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.参考解答:充分性. 若的秩为1, 则可经非退化线性替换使, 其中,故.若的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使,其中均为的一次多项式, 即故可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积. 必要性.设实二次型可以分解成两个
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