届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标定点定值探索性问题文新人教版.doc
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1、课堂达标(四十八) 定点、定值、探索性问题A根底稳固练1(2022北京西城区模拟)椭圆C:1(ab0)的离心率e,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论解(1)由短轴长为2,得b,由e,得a24,b22.所以椭圆C的标准方程为1.(2)以MN为直径的圆过定点F(,0)证明如下:设P(x0,y0),那么Q(x0,y0),且1,即x2y4,因为A(2,0),所以直线PA方程为y(x2),所以M,直线QA方程
2、为y(x2),所以N,以MN为直径的圆为(x0)(x0)0,即x2y2y0,因为x42y,所以x2y22y20,令y0,那么x220,解得x.所以以MN为直径的圆过定点F(,0)2椭圆1(ab0)的左焦点F1(1,0),长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点,假设mn,求证:为定值解析(1)由得解得a2,b.故所求椭圆方程为1.(2)证明:由F1(1,0),当直线m不垂直于坐标轴时,可设直线m的方程为yk(x1)(k0)由得(34k2)x28k2x4k2120.由于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么有x1x2,x1x2,|A
3、B|.同理|CD|.所以.当直线m垂直于坐标轴时,此时|AB|3,|CD|4;或|AB|4,|CD|3,所以.综上,为定值.3(2022安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E:1(ab0)的离心率为,点(,)为椭圆上的一点(1)求椭圆E的标准方程;(2)假设斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆E的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值解(1)因为e,所以ca,a2b22.又椭圆过点(,),所以1.由,解得a26,b24,所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明:设直线l:ykx1,联立得(3k22)x26kx90.设C(x1,y1),D(x2,y
4、2),那么x1x2,x1x2,易知B(0,2),故kBCkBDk2k23k(3k22)2.所以对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值4(高考全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C:y与直线l:ykxa(a0)交于M,N两点,(1)当k0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPMOPN?说明理由解(1)由题设可得M(2,a),N(2,a),或M(2,a),N(2,a)又y,故y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0.y在x2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为ya(x2),即xya0.故所求切线方程为x
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