2022年高数函数与极限教案.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载使用班级:使用班级:授课时间: 20 年 9 月 日 授课时间: 20 年 9 月 日授课章节名称:第 1 章 函数、极限与连续 第 1 节 函数(二)、第 2 节 极限 教学目的:1. 懂得复合函数的定义及复合过程,分段函数的定义及表示方法,极限 的概念,函数左极限与右极限的概念;2. 娴熟把握x和xx0时 fx 的极限存在的充要条件;3. 懂得无穷大、无穷小的概念;4. 把握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质,求教学重点:1. 函数极限与数列极限的概念,求极限的方法;2. 无穷大量与无穷小量的概念及性质 . 教学难点:1.
2、 函数极限的定义;2. 无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用;教学方法: 讲授,启示式、讲练结合 教学手段: 传统讲授;作业:层次 1:书 16 页 1、2(1)(2)、4、6 层次 2:书 16 页 5、7 教案实施成效追记:(手书)第 1 章 函数、极限与连续会用无穷小量的性质第 1 节 函数(二)、第 2 节 极限复习及课题引入 (时间: 5 分钟):1、作业题处理;2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关学问点;讲授新内容 一、函数的概念(二) (时间: 15 分钟)1、复合函数:【引例】(公司员工问题)某公司员工的工资占公司利润的如干比例,而公司的利润又取决于所销售的商品的数量
3、,因此,该公司员工的工资由所销售商品的数量打算;名师归纳总结 定义 7设yfu, 其中ux, 且函数ux的值域包含在函第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数yfu学习必备欢迎下载为由yfu与ux复的定义域内 , 就称yfx合而成的 复合函数 , 其中u称为中间变量 . 例如,yu2,usinx可复合成ysin2x. 留意:y、 并不是任意两个函数都能构成复合函数. 如 ,y1u2和ux22就 不 能 构 成 复 合 函 数 ; 因 为 对 函 数1u2而言,必需要求变量u1,而ux222,所以对任何 x 的值, y 都得不到确定的对
4、应值;、利用复合函数不仅能将如干个简洁的函数复合成一个函数,仍可以把一个较复杂的函数分解成几个简洁的函数,时很重要的;例 4、将以下复合函数进行分解. 这对于今后把握微积分的运算1ylncosx; 2y,3 sin x. 解 1ylncosx是由ylnu,ucos 复合而成的 . 2y3 sin x是由y3 uusinx复合而成的 . 2、初等函数:定义 8:由基本初等函数经过有限次的四就运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数,称为初等函数 . cos2 x2等都是初等函数;例如:ylncosx,yxxxx21,y13、分段函数:定义 9:在自变量的不同变化范畴中, 对应法就用不同
5、式子表示的函数,称为分段函数 . 注: 1 分段函数仍然是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是 各段函数定义域的并集 . 2分段函数一般不是初等函数. 除yxx,x,0x ,x,0例如:名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,1学习必备欢迎下载x,0符号函数:sgn x0 ,x,0就是一个分段函数, 其定义域为,;2x,1f0,f1,f2及函数的定义域;x0 ,-1x0 ,例 5、设y1x ,0x1 ,求2,11x3解:f020,f1,f21,函数的定义域为1 3, ;11 2122 二、极限概念:(时间: 10
6、 分钟)【引例】:中国古代哲学家庄周在庄子 日取一半,万世不竭; ”.天下篇中引述惠施的话: “ 一尺之锤,析:这句话的意思是指一尺的木棒,第一天取它的一半,即1 尺,;第 21 尺;这 8二天再取剩下的一半,即1 尺;第三天再取其次天剩下的一半,即 4样一每天地去下去,而木棒是永久也取不完的;尽管木棒永久也取不完,可到了肯定的时候,仍能看得见吗?看不见意 味着什么?不就是快没了吗?终极的时候,就近乎没有了;它的终极状态就 趋于零;名师归纳总结 【极限概念引出】事实上,假设木棒为一个单位长,用x 表示第 n 天截第 3 页,共 9 页取之后所剩下的长度,可得x 11,x 21,x 31,.,x
7、n1,.,248n 2,这样x 1,x2,x3,.,nx,.构成一列有次序的数;设想n 无限增大(记为n),在这个过程中,x 无限接近于一个确定的数值(零) ,这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数(所谓数列),x 1,x 2,x3,.,nx,.当n时的极限;复习 高中学问 :数列的概念、通项概念数列就是依据肯定次序排列成的一列数,一般记为x 1,x 2,x3,.,nx,.,简记为xn,其中x 称为数列的 通项;例如,数列1,2,3,4,5,的通项是xnn,可以记为 n ;数列,11,1,1,1,.的通项是xn1 ,可以记为 n1;数列2 ,22,23,24,25,., 的通项2345n
8、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是xnn 2 ,可以记为2n ;学习必备欢迎下载数列xn也可看成自变量为正整数n 的函数:x nfn,其定义域是全体正整数,当自变量 n 依次取 1,2,3, , 一切正整数时,对应的函数值就排列成数列xn;2、(极限概念)定义10:(教学方法:板书)对于数列 x n , 如当n无限增大时 , 通项 x 无限接近于某个确定的常数 A ,就常数 A 称为数列 x n 的极限 , 此时也称数列 x n 收敛于 A , 记为 nlim xn A或 xn A n如数列 nx 的极限不存在 , 就称数列 x n 发散 . 留意:
9、数列极限是个动态概念,是变量无线运动渐进变化的过程,是一个变量(项数为 n )无线运动的同时另一个变量(对应的通项 x n )无限接近于某一个确定常数的过程,这个常数(极限)是这个无线运动变化的最终趋势;(依据函数关系的定义,引出数列是特殊的函数这个概念)例 1、(画数轴数形结合思想)(1)xn n 1: 2 , 3, 4, 5, 6,., n 1 ,.;n 2 3 4 5 n(2)x n 1n : 1, 1, 1, 1,., 1n ,.;3 3 9 27 81 3n n(3)x n 1 : ,1,1 1,1 ,., 1 ,.;解:当时 n,数列(1)的通项 xn n 1 越来越接近于常数 1
10、;而数列(2)n的通项 x n 1 越来越接近于常数 n 0,数列(3)的通项 x n 1 n在-1 与 1 之间3交替显现而不趋于任何确定的常数,所以,(1)lim n 1 1;n n(2)lim n 3 1n 0;n(3)lim n 1 不存在;(析:从数轴上标出一些点,来说明数列无限运动变化的最终趋势)名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 三、函数的极限 (时间: 20 分钟)数列是一种特殊形式的函数, 把数列的极限推广可得到函数的极限;依据自变量的变化过程,分两种情形争论;1、 x时函数fx的
11、极限(教学方法:讲解) (7 分钟)【引例】(设备折旧问题)某高校为进行以工作过程为导向的课程教学,购置一批数控机床为教学设备,投资额是 100 万元,每年的折旧费为这批数控机床账面价格(即以前各年折旧费用提取后余下的价格)1 ,那么这批数控机床的账面价格(单位:万元)10第一年为 100,其次年为 100* 9 ,第三年为 100*(9 ),第四年为 100*(9 ), ,10 10 10第 n年为 100*(9)n,那么,当 n无限增大时,该批数控机床的账面价格如何变10化?明显,从它的变化趋势可以看出, 随着年数的无限增大时, 账面价格无限接近于 0. 引例反映了一个特点: 当自变量逐步
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