2022高考数学一轮复习 第七章 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式知识点 新人教A版 .doc
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1、第1讲 不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图知 识 梳 理1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性:abba;(2)传递性:ab,bcac;(3)可加性:abacbc;ab,cdacbd;(4)可乘性:ab,c0acbc;ab0,cd0acbd;(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1);(6)可开方:ab0(n
2、N,n2)3三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)abac2bc2.()(2)ab0,cd0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实根数,则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()2(2014四川卷)若ab0,cd0,则一定有()A. B.C.
3、D.解析cd0,0,两边同乘1,得0,又ab0,故由不等式的性质可知0.两边同乘1,得.故选B.答案B3(2014大纲全国卷)不等式组的解集为()Ax|2x1 Bx|1x0Cx|0x1 Dx|x1解析由x(x2)0得x0或x2;由|x|1得1x1,所以不等式组的解集为x|0x1,故选C.答案C4若不存在整数x满足不等式(kxk24)(x4)0,则实数k的取值范围是_解析可判断k0或k0均不符合题意,故k0.于是原不等式即为k(x4)0(x4)0,依题意应有35且k0,1k4.答案1,45(人教A必修5P80A3改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是
4、_解析由题意知:(m1)24m0.即m26m10,解得:m32或m32.答案(,32)(32,)考点一不等式的性质及应用【例1】 若0,给出下列不等式:;|a|b0;ab;ln a2ln b2.其中正确的不等式是()A B C D 解析法一因为0,故可取a1,b2.显然|a|b1210,所以错误;因为ln a2ln(1)20,ln b2ln(2)2ln 40,所以错误综上所述,可排除A,B,D.深度思考判断不等式是否成立,常采用特殊值法进行排除但为了更好理解不等式的性质,请你利用不等式的性质判断一下法二由0,可知ba0.中,因为ab0,ab0,所以0,0.故有,即正确;中,因为ba0,所以ba
5、0.故b|a|,即|a|b0,故错误;中,因为ba0,又0,则0,所以ab,故正确;中,因为ba0,根据yx2在(,0)上为减函数,可得b2a20,而yln x在定义域(0,)上为增函数,所以ln b2ln a2,故错误由以上分析,知正确答案C规律方法判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等【训
6、练1】 (1)(2014三明模拟)若ab0,则下列不等式一定成立的是()A. Ba2abC. Danbn(2)设ab1,c0,给出下列三个结论:;acbc;logb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A B C D解析(1)(特值法)取a2,b1,逐个检验,可知A,B,D项均不正确;C项,|b|(|a|1)|a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|,ab0,|b|a|成立,故选C.(2)由不等式性质及ab1知,又c0,所以,正确;构造函数yxc,c0,yxc在(0,)上是减函数,又ab1,acbc,知正确;ab1,c0,acbc1,logb(ac)loga(ac)l
7、oga(bc),知正确答案(1)C(2)D考点二一元二次不等式的解法【例2】 (1)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1,x2),且x2x115,则a()A. B. C. D.解析法一由x22ax8a20,得(x2a)(x4a)0恒成立,则x的取值范围为_解析把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)(x2)a(x24x4),则由f(a)0对于任意的a1,1恒成立,易知只需f(1)x25x60,且f(1)x23x20即可,联立方程解得x3.答案x|x314已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)2x的解集为(1,3)(1)若方程f(x)6a0有两个相等的根,求f(
8、x)的解析式;(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围解(1)f(x)2x0的解集为(1,3),f(x)2xa(x1)(x3),且a0,因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0,得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根,所以(24a)24a9a0,即5a24a10,解得a1或a.由于a0,舍去a1,将a代入,得f(x)x2x.(2)由f(x)ax22(12a)x3aa及a0,可得f(x)的最大值为.由解得a2或2a0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线不等式AxByC0所表示的平面区域(半
9、平面)包括边界直线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x,y),使得AxByC的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式AxByC0;而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式AxByC0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x,y的约束条件目标函数关于x,y的解析式线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性
10、目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(4)目标函数zaxby(b0)中,z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()2下列各点中,不在xy10表示的平面区域内的是()A(0,0) B(1,1) C(1,3) D(2,3)解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合,故选C.答案C3直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个 C
11、2个 D无数个解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点A(5,0),且其斜率k2kAB,即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0)答案B4(2014天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D5解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)由zx2y,得yxz,z的几何意义是直线yxz在y轴上的截距,要使z最小,需使z最小,易知当直线yxz过点A(1,1)时,z最小,最小值为3,故选B.答案B5(2014安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为_解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由得A(0,2),B(2,0),C(
12、8,2)直线x2y40与x轴的交点D的坐标为(4,0)因此SABCSABDSBCD22224.故答案为4.答案4考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A. B(0,1C. D(0,1(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分,则k的值是()A. B. C. D. 解析(1)不等式组表示的平面区域如图(阴影部分),求A,B两点的坐标分别为和(1,0),若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线xya的a的取值范围是0a1或a.(2)不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线
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