数学优质课件精选——坐标轮换法.ppt
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1、第三章无约束优化方法,无约束优化设计的数学模型为:无约束优化方法是优化设计技术中最重要和基本的内容之一,主要因为:1.这类方法可以直接用来求解某些无约束的工程设计问题;2.对某些约束优化问题可以通过一定的办法转化为无约束问题,直接用无约束优化方法求解;3.通过对无约束优化方法的研究给约束优化方法提供良好的概念和基础。,无约束求优的过程是从某一选定的初始点出发,沿着按一定规律产生的搜索方向组逐次寻求函数值下降的新迭代点,使之逐步逼近最优点,即满足可见,各种无约束优化方法的区别,主要在于搜索方向的不同,搜索方向的构成问题是无约束约束优化方法的主要特征。主要分为两大类:一是直接法,即不用导数信,息的
2、算法,只需要进行函数值的计算与比较,来确定迭代方向和步长,如坐标轮换法、共轭方向法和鲍威尔共轭方向法;另一类是间接法,即利用函数的一阶或二阶偏导数矩阵,来确定迭代方向和步长,如最速下降法,牛顿法和变尺度法。,无约束极小化算法框图,2.坐标轮换法坐标轮换法又称变量轮换法,属于直接法,其基本原理为:将一个多维无约束优化问题转换为一系列一维优化问题来求解,即依次沿着坐标轴的方向进行一维搜索,求得极小点。对于n维无约束优化问题,先将(n-1)个变量固定不动,只变化第一个变量,即由起始点沿着第一个变量的方向进行一维搜索,得到好点;而后再保持(n-1),个变量不变,对第二个变量进行一维搜索,此时搜索方向为
3、,得到好点。如此沿方向(即坐标方向),且将前一次一维搜索的好点作为本次一维搜索的好点作为本次一维搜索的起始点,依次进行一维搜索后,完成一轮计算。若未收敛,则以前一轮的末点为起始点,进行下一轮的循环,如此一轮一轮迭代下去,直到满足收敛准则,逼近最优点为止。,二维坐标轮换法的迭代示意图,迭代步骤:1.任选初始点作为第一轮的起点,置n个坐标轴方向矢量为单位坐标矢量,2.按照下面迭代公式进行迭代计算式中K为迭代轮数的序号,k=1,2,,i是该轮中一维搜索的序号,依次取i=1,2,3等步长一般通过一维优化求出其最优步长。(3)按下式判别是否该终止迭代?,若满足,迭代终止,并输出最优解坐标轮换法特点:1.
4、方法结构简单,易于掌握,但计算效率低,对维数较高的优化问题更为突出,通常用于低维优化问题;2.本方法的收敛效果在很大程度上取决于目标函数等值线的形状。等值线为椭圆族,其长、短轴与坐标轴,平行或圆族等值线,该方法收敛效果好,速度快。如下图(a)当椭圆族的长、短轴与坐标轴斜交,迭代次数将大大增加,收敛速度很慢,如下图(b)。当目标函数等值线出现“脊线”时,沿坐标轴方向搜索均不能使函数值有所下降,该方法在求优过程中将失败,这类函数对坐标轮换法来说是“病态”函数。如下图(c)。,3.共轭方法法及其构成,坐标轮换法的收敛速度很慢,原因在于搜索方向总是平行于坐标轴,不适应函数的变化情况。若将一轮的起点和末
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