2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中数学试卷 (解析版).doc
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1、2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题(共12小题)1已知a=(x,3),b=(3,1),且ab,则x()A9B9C1D12若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30,则a在b方向上的投影为()A2B3C23D43在ABC中,a3,b5,sinA=13,则sinB()A15B59C53D14在各项都为正数的等比数列an中,首项a13,前三项和为21,则a3+a4+a5()A33B72C84D1895在ABC中,A90,AB=(2-k,2),AC=(2,3),则k的值是()A5B5C32D-326ABC的三内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,若sinB-sinAsinC=
2、3a+ca+b,则角B的大小为()A6B56C3D237下列命题正确的是()A若ab=bc,则a=cB|a+b|=|a-b|,则ab=0C若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量D若a0与b0是单位向量,则a0b0=18如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=3PA,则()Ax=23,y=13Bx=13,y=23Cx=14,y=34Dx=34,y=149已知ABC中,a=5,A=3,b+c=2bc,则ABC的面积为()A58B34C3D53810九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月
3、织九匹三丈(1匹40尺,一丈10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算,则每天增加量为()A12尺B815尺C1629尺D1631尺11一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的速度是每小时()A5海里B53海里C10海里D103海里12已知函数f(x)=x+3sin(x-12)+12,则f(12019)+f(220
4、19)+f(20182019)=()A2018B2019C4036D4038二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13在ABC中,若abc,且c2a2+b2,则ABC为 三角形14若向量a、b满足|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为4,则(a-b)2= 15数列an的前n项的和Sn3n2+n+1,则此数列的通项公式 16已知平面上不重合的四点P,A,B,C满足PA+PB+PC=0且AB+AC=mAP,那么实数m的值为 三、解答题:(本大题共六小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17求与向量a=(1,2),b=(2,1)夹角相等的单位向量c的坐标18设A
5、BC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且有2sinBcosAsinAcosC+cosAsinC()求角A的大小;()若b2,c1,D为BC的中点,求AD的长19已知等差数列an满足:a12,且a1、a2、a5成等比数列(1)求数列an的通项公式(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由20已知数列an满足a11,an+1=2anan+2(1)求证数列1an为等差数列;(2)设bnanan+1,求数列bn的前n项和Tn21在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(ac)(sinA+sinC)+(ba)
6、sinB0(1)求C;(2)若c2,2sin2A+sin(2B+C)sinC,求ABC的面积22已知各项均为正数的数列an满足an+12an+1an2an20(nN*),且a3+2是a2,a4的等差中项(1)求数列an的通项公式an;(2)若bnanlog12an,Snb1+b2+bn,求Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值参考答案一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的.)1已知a=(x,3),b=(3,1),且ab,则x()A9B9C1D1【分析】利用向量共线定理即可得出解:向量ab,9x0,解得x9故选:A【点评】本题
7、考查了向量共线定理,属于基础题2若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30,则a在b方向上的投影为()A2B3C23D4【分析】本题根据向量a在b方向上的投影公式为ab|b|,然后代入进行向量的计算可得正确选项解:由题意,可知向量a在b方向上的投影为ab|b|=|a|b|cos30|b|=42322=23故选:C【点评】本题主要考查利用向量求投影的问题考查了转化思想,定义法,向量的运算,以及逻辑思维能力和数学运算能力本题属基础题3在ABC中,a3,b5,sinA=13,则sinB()A15B59C53D1【分析】由正弦定理列出关系式,将a,b及sinA的值代入即可求出sinB的值解:a3,b
8、5,sinA=13,由正弦定理得:sinB=bsinAa=5133=59故选:B【点评】此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键4在各项都为正数的等比数列an中,首项a13,前三项和为21,则a3+a4+a5()A33B72C84D189【分析】根据等比数列an中,首项a13,前三项和为21,可求得q,根据等比数列的通项公式,分别求得a3,a4和a5代入a3+a4+a5,即可得到答案解:在各项都为正数的等比数列an中,首项a13,前三项和为21故3+3q+3q221,q2,a3+a4+a5(a1+a2+a3)q2212284故选:C【点评】本题主要考查了等比数列的性质要理解和记忆好等
9、比数列的通项公式,并能熟练灵活的应用5在ABC中,A90,AB=(2-k,2),AC=(2,3),则k的值是()A5B5C32D-32【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,求出k的值解:ABC中,A90,AB=(2-k,2),AC=(2,3),ABAC=2(2k)+320,求得k5,故选:A【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,属于基础题6ABC的三内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,若sinB-sinAsinC=3a+ca+b,则角B的大小为()A6B56C3D23【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2b2=-3ac,由余弦定理可得cos
10、B=-32,结合范围B(0,),即可解得B的值解:在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R,可得:sinB=b2R,sinA=a2R,sinC=c2R,sinB-sinAsinC=3a+ca+b,可得:b-ac=3a+ca+b,整理可得:c2+a2b2=-3ac,由余弦定理可得:cosB=c2+a2-b22ac=-32,B(0,),B=56故选:B【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题7下列命题正确的是()A若ab=bc,则a=cB|a+b|=|a-b|,则ab=0C若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是
11、共线向量D若a0与b0是单位向量,则a0b0=1【分析】当b=0 时,可得A、C不正确,把|a+b|=|a-b| 平方可得 ab=0,得到B正确,根据 a0b0=11cosa0,b0,可得D不正确解:当b=0 时,ab=bc 成立,而a与c 的大小和方向都是不确定的,故A不正确由|a+b|=|a-b| 可得 a2+b2+2ab=a2+b2-2ab,ab=0,故B正确当b=0 时,a与b是共线向量,b与c是共线向量,但a与c的大小和方向都是不确定的,故C不正确若a0与b0是单位向量,则a0b0=11cosa0,b0=cosa0,b0,故D不正确故选:B【点评】本题考查两个向量共线的定义和性质,两
12、个向量的数量积的定义,注意零向量的情况,这是解题的易错点8如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=3PA,则()Ax=23,y=13Bx=13,y=23Cx=14,y=34Dx=34,y=14【分析】由BP=3PA,利用向量三角形法则可得OP-OB=3(OA-OP),化为OP=34OA+14OB,又OP=xOA+yOB,利用平面向量基本定理即可得出解:BP=3PA,OP-OB=3(OA-OP),化为OP=34OA+14OB,又OP=xOA+yOB,x=34,y=14故选:D【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题9已
13、知ABC中,a=5,A=3,b+c=2bc,则ABC的面积为()A58B34C3D538【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式即可求出解:由余弦定理a2b2+c22bccosA,5b2+c2bc(b+c)23bc2(bc)23bc,解得bc=52,或bc1(舍去),SABC=12bcsinA=125232=538,故选:D【点评】本题主要考查余弦定理的应用,考查学生对公式的应用,属于基础题10九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹40尺,一丈10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用
14、功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算,则每天增加量为()A12尺B815尺C1629尺D1631尺【分析】利用等差数列的求和公式即可得出解:由题意可得:每天织布的量组成了等差数列an,a15(尺),S30940+30390(尺),设公差为d(尺),则305+30292d=390,解得d=1629故选:C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题11一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船
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