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1、一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系第一模块第一模块 向量代数向量代数 空间解析几空间解析几何何第一节二阶及三阶行列式第一节二阶及三阶行列式 空间直角坐标系空间直角坐标系 设二元一次方设二元一次方程为程为一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式1. .二阶行列式二阶行列式我们从解二元一次方程组入手,我们从解二元一次方程组入手, .,222111cybxacybxa当当 a1b2 a2b1 0 时,时, 方程组的解为方程组的解为,12211221bababcbcx 12211221babacacay 二阶行二阶行列式含有两行两列列式含有两行两列. a1,
2、b1 , a2, b2 叫做行列式的叫做行列式的元元素素,行列式中横排叫做行列式中横排叫做行行, 纵排叫做纵排叫做列列,这就叫这就叫二阶行列式二阶行列式,为了便于记忆,为了便于记忆, 我们把我们把 a1b2 a2b1记作记作,2211baba, 12212211babababa 即即2211baba( )(+)26)1(013213012 ,83)2(212231 利用行列式,利用行列式, 二元一次方程组的解可以表示成:二元一次方程组的解可以表示成:,22112211bababcbcx .22112211babacacay ,12211221bababcbcx .12211221babacac
3、ay 是由方程组是由方程组 中中 x、y 的系数按原来次序排列成的的系数按原来次序排列成的,称为方程组的称为方程组的系系数行列式数行列式, 分母中的行列式分母中的行列式 2211baba记为记为 D. 行列式行列式 是把系数行列式中是把系数行列式中 x 的系数的系数 a1 ,a2 2221bcbc而成的而成的 换成方程组右端的常数项换成方程组右端的常数项 c1,c2行列式行列式,记为,记为 Dx . 行列式行列式 是把系数行列式中是把系数行列式中 y 的系数的系数 b1,b22211caca换成常数项换成常数项 c1,c2 而成的行列式而成的行列式 ,记为,记为 Dy .所以所以,二元一次方程
4、组的解又可表示为二元一次方程组的解又可表示为: :)0(, DDDyDDxyx其中其中例例 1解方程组解方程组 06450732yxyx解解 原方程组即为原方程组即为 . 645, 732yxyx,234532 D因为因为,464637 xD,236572 yD所以所以, 22346 DDxx. 12323 DDyy2. .三阶行列式三阶行列式333222111cbacbacba312231123213132321cbacbacbacbacbacba 这就是这就是三阶行列式三阶行列式. 其中其中ai , bi , ci (i = 1 , 2 , 3) 称为称为行列式的元素,行列式的元素,横排称
5、为行,横排称为行,纵排称为列纵排称为列. 实线上三实线上三个元素的连乘积取正号,个元素的连乘积取正号,三阶行列式的计算可依下表进行三阶行列式的计算可依下表进行: 虚线上三个元素的连乘虚线上三个元素的连乘积取负号积取负号.即即这样,三元一次方程组的解,这样,三元一次方程组的解, 可用三阶行列式表示,可用三阶行列式表示,333222111cbacbacba321aaa321bbb)()()( )()()( 当当 D 0 时,时, .,DDzDDyDDxzyx 其中其中 称为方程组的称为方程组的系数行列式系数行列式,333222111cbacbacbaD 是是系系数数行行列列式式中中和和zyxDDD
6、, x 、 y 和和 z 的系数的系数依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式依次分别换成方程组右端的常数项而成的行列式.例例 2计算行列式计算行列式 的值的值054321907027 430 519 924 735 010 解解520417054321907)()()( )()()( 132 例例 3解方程解方程0245351132 xx25)2( x)5(3)3( x)4(11 15)5( x)2(3)4(x )3(12 ,248 x245351132 xx解解3 x解之,得解之,得 0248 x所以原方程为所以原方程为 根据行列式的定义,三阶行列式也可以用二阶根据行列式的定义,三阶行列
7、式也可以用二阶行列式表示行列式表示. 其具体表达式如下其具体表达式如下:333222111cbacbacba321321321bacacbcba 123123123bacacbcba )(23321cbcba )(23321acacb )(23321babac .332213322133221babaccacabcbcba 05432190705327 04310 54219 )3(9)15(7 132 例如,例如,例例 2 中的行列式可按如下方法计算中的行列式可按如下方法计算2 以以 的角度转向的角度转向 y 轴的轴的正向,正向,1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 过空间定点过空间定点 O
8、作三条互相作三条互相垂直的数轴,垂直的数轴, 它们都以它们都以 O 为原点,为原点, 并且通常取相同的长度单位并且通常取相同的长度单位. 这这三条数轴分别称为三条数轴分别称为 x 轴,轴,y 轴,轴,z 轴轴. 各轴正向之间的顺序通常各轴正向之间的顺序通常按下述法则确定按下述法则确定:以右手握住以右手握住 z 轴,轴, 让右手的四指从让右手的四指从 x 轴的正向,轴的正向,图图 8 1这时大拇指所指的方向就是这时大拇指所指的方向就是 z 轴的正向轴的正向. 这个这个法则叫做法则叫做右手法则右手法则. 右手法则右手法则 二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系这样就组成了空间直角坐标系这样就组成了空
9、间直角坐标系. O 称为称为坐标原坐标原点,点, 每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面,每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面, 简称为简称为坐标面坐标面. x 轴与轴与 y 轴所确定的坐标面称为轴所确定的坐标面称为 x y 坐表坐表面面, 类似地有类似地有 y z 坐标面坐标面,z x 坐标面坐标面. 这些坐标面把空间分成这些坐标面把空间分成八个部分,每一个称为一个八个部分,每一个称为一个卦限卦限. x、y、z 轴的正半轴轴的正半轴的卦限称为第的卦限称为第 I 卦限,卦限,xyzO 八卦限八卦限 空间的点就与一组有序数组空间的点就与一组有序数组 x,y,z 之间建之间建立了一一对应关系立了一一对应
10、关系. 按逆时按逆时针的方向针的方向从第从第 I 卦限开始,卦限开始, 从从 Oz 轴的正向向下看,轴的正向向下看, ,先后出现的卦限依次称为第,先后出现的卦限依次称为第 、 卦限卦限; 第第、 、 、 卦限下面的空间部卦限下面的空间部分依次称为第分依次称为第 、 卦限卦限.xyzOMPRQ 它们分别称为它们分别称为 x 坐标,坐标,y 坐标和坐标和 z 坐标坐标. 有序数组有序数组 x,y,z 就称为点就称为点 M 的坐标,记为的坐标,记为 M( (x,y,z) ), 过点过点 M1 M2 各作三张平各作三张平面分别垂直于三个坐标轴,形成如图的长方体面分别垂直于三个坐标轴,形成如图的长方体.
11、 求求它们之间的距离它们之间的距离 d = |M1M2|.设空间两点设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),2d2221QMQM 221MM (M1QM2 是直角三角形是直角三角形) 22221QMPQPM 易知易知(M1PQ 是直角三角形是直角三角形)zOy1xyz1z2y2x2x1QPM1M2P 1M 2M 2. .两点之间的距离两点之间的距离图图 8 - 4212212212)()()(zzyyxx 222221QMMPPM 所以所以.)()()(212212212zzyyxxd 特别地,特别地,点点 M ( x , y , z) 与原点与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离的距离222zyxOMd 两点间距离两点间距离例例 4已知已知 A (3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). AOB 的周长的周长.解解由两点间距离公式可得由两点间距离公式可得, 5)51()22()03(222 BA由两点间距离公式由两点间距离公式 可得可得,1412)3(222 OA.29520222 BO所以,所以,AOB 的周长的周长.1429145 BOAOABl
限制150内