2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习:圆的相关证明与计算.doc
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1、培优同步练习:圆的相关证明与计算1如图,已知AB是O的直径,AB4,点C是AB延长线上一点,且BC2,点D是半圆的中点,点P是O上任意一点(1)当PD与AB交于点E且PCCE时,求证:PC与O相切;(2)在(1)的条件下,求PC的长;(3)点P是O上动点,当PD+PC的值最小时,求PC的长解:(1)证明:如图1,点D是半圆的中点,APD45,连接OP,OAOP,OAPOPA,PECOAP+APEOPA+APEAPEOPE+APE2APEOPE90OPE,PCEC,CPEPEC90APE,OPCOPE+CPEOPE+90OPE90,点P在O上,PC是O的切线;(2)解:由(1)知,OPC90,A
2、B4,OPOBAB2,BC2,OCOB+BC4,根据勾股定理得,CP2;(3)解:连接OD,如图2,D是半圆O的中点,BOD90,要使PD+PC的值最小,则连接CD交O于P,即点P在P的位置时,PD+PC最小,由(2)知,OC4,在RtCOD中,ODOB2,根据勾股定理得,CD2,连接BP,AD,则四边形ADPB是O的内接四边形,CBPCDA,BCPDCA,CBPCDA,CP2如图,已知AB是O的弦,点C是弧AB的中点,D是弦AB上一动点,且不与A、B重合,CD的延长线交于O点E,连接AE、BE,过点A作AFBC,垂足为F,ABC30(1)求证:AF是O的切线;(2)若BC6,CD3,则DE的
3、长为9;(3)当点D在弦AB上运动时,的值是否发生变化?如果变化,请写出其变化范围;如果不变,请求出其值(1)证明:如图1中,连接AC,OC,OAAOC2ABC60,OAOC,AOC是等边三角形,CAO60,ABOC,OADOAC30,ABC30,ABCOAD,OABF,AFBF,OAAF,AF是O的切线(2)解:,CBDBEC,BCDBCE,BCDECB,EC12,DEECCD1239故答案为9(3)解:结论:,的值不变理由:如图2中,连接AC,OC,OC交AB于H,作ANEC交BE的延长线于N,OCAB,CBCA,BHAHAB,ABC30,BHBC,ACAB,CEAN,NCEB30,EAN
4、AECABC30,CEAABC30,EANN,NAEC,AEEN,ACEABN,ACEABN,的值不变3如图1所示,以点M(1,0)为圆心的圆与y轴,x轴分别交于点A,B,C,D,与M相切于点H的直线EF交x轴于点E(5,0),交y轴于点F(0,)(1)求M的半径r;(2)如图2所示,连接CH,弦HQ交x轴于点P,若cosQHC,求的值;(3)如图3所示,点P为M上的一个动点,连接PE,PF,求PF+PE的最小值解:(1)如图1,连接MH,E(5,0),F(0,),M(1,0),OE5,OF,EM4,在RtOEF中,tanOEF,OEF30,EF是M的切线,EHM90,sinMEHsin30,
5、MHME2,即r2;(2)如图2,连接DQ、CQ,MHQHCQDC,CPHQPD,PCHPQD,由(1)可知,HEM30,EMH60,MCMH2,CMH为等边三角形,CH2,CD是M的直径,CQD90,CD4,在RtCDQ中,cosQHCcosQDC,QDCD3,;(3)连MP,取CM的点G,连接PG,则MP2,G(2,0),MGCM1,又PMGEMP,MPGMEP,PGPE,PF+PEPF+PG,当F,P,G三点共线时,PF+PG最小,连接FG,即PF+PE有最小值FG,在RtOGF中,OG2,OF,FGPF+PE的最小值为4如图,O的直径AB10,弦BC,点P是O上的一动点(不与点A、B重
6、合,且与点C分别位于直径AB的异侧),连接PA,PC,过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D(1)求tanBPC的值;(2)随着点P的运动,的值是否会发生变化?若变化,请说明理由,若不变,则求出它的值;(3)运动过程中,AP+2BP的最大值是多少?请你直接写出它来解:(1)连接AC,AB是O的直径,ACB90,在RtABC中,AB10,BC2,AC4,tanBPCtanBAC;(2)的值不会发生变化,理由如下:PCDACB90,1+PCB2+PCB,12,3是圆内接四边形APBC的一个外角,3PAC,CBDCAP,在RtPCD中,tanBPC,;(3)由(2)知BDAP,AP+2BP2(AP+
7、BP)2(BD+BP)2PD,由tanBPC,得:cosBPC,AP+2BPPCAB10,AP+2BP的最大值为105在图1至图3中,O的直径BC30,AC切O于点C,AC40,连接AB交O于点D,连接CD,P是线段CD上一点,连接PB(1)如图1,当点P,O的距离最小时,求PD的长;(2)如图2,若射线AP过圆心O,交O于点E,F,求tanF的值;(3)如图3,作DHPB于点H,连接CH,直接写出CH的最小值解:(1)如图1,连接OP,AC切O于点C,ACBCBC30,AC40,AB50由,即,解得CD24,当OPCD时,点P,O的距离最小,此时(2)如图2,连接CE,EF为O的直径,ECF
8、90由(1)知,ACB90,由AO2AC2+OC2,得(AE+15)2402+152,解得ACBECF90,ACEBCFAFC又CAEFAC,ACEAFC,(3)CH的最小值为解:如图3,以BD为直径作G,则G为BD的中点,DG9,DHPB,点H总在G上,GH9,当点C,H,G在一条直线上时,CH最小,此时,即CH的最小值为6如图,在RtABC中,C90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G(1)求证:BC是O的切线;(2)求证:AD2ABAF;(3)若BE8,sinB,求AD的长,解:(1)如图1,连接OD,则OAOD,
9、ODAOAD,AD是BAC的平分线,OADCAD,ODACAD,ODAC,ODBC90,点D在O上,BC是O的切线;(2)如图2,连接OD,DF,EF,AE是O的直径,AFE90C,EFBC,BAEF,AEFADF,BADF,由(1)知,BADDAF,ABDADF,AD2ABAF;(3)如图3,连接OD,由(1)知,ODBC,BDO90,设O的半径为R,则OAODOER,BE8,OBBE+OE8+R,在RtBDO中,sinB,sinB,R5,AE2OE10,ABBE+2OE18,连接EF,由(2)知,AEFB,AFEC90,sinAEFsinB,在RtAFE中,sinAEF,AF由(2)知,A
10、D2ABAF18,AD7如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线一点,且BCCD,CEAD于点E(1)求证:直线EC为圆O的切线;(2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,求证:PC2PFPA若PC5,PF4,求sinPEF的值证明:(1)CEAD于点E,DEC90,BCCD,C是BD的中点,又O是AB的中点,OC是BDA的中位线,OCAD,OCECED90,OCCE,又点C在圆上,CE是圆O的切线;(2)连接AC,OCCE,ECO90,AB是直径,ACB90ECO,ECAOCB,OCOB,OCBOBCACE,ABFACF,OBCABFACEACF,EBCECF,且
11、EBCCAP,ECFCAP,且CPFCPA,PCFPAC,PC2PFPAAB是直径,点F在圆上,AFBPFE90CEA,EPFEPA,PEFPAE,PE2PFPAPEPC在直角PEF中,sinPEF8如图1,在平面直角坐标系内,A,B为x轴上两点,以AB为直径的M交y轴于C,D两点,C为的中点,弦AE交y轴于点F,且点A的坐标为(2,0),CD8(1)求M的半径;(2)动点P在M的圆周上运动如图1,当EP平分AEB时,求PNEP的值;如图2,过点D作M的切线交x轴于点Q,当点P与点A,B不重合时,是否为定值?若是,请求出其值;若不是,请说明理由解:(1)如图1中,连接CMAMCD,OCOD4,
12、设CMAMr,在RtCMO中,CM2OC2+OM2,r242+(r2)2,解得r5,M的半径为5(2)如图2中,连接AP,BPAB是直径,APBAEB90,PE平分AEP,AEPPEB45,PAPB,AB10,APB90,PAPBAB5,PANAEP45,APNAPE,APNEPA,PNPEPA250如图3中,连接PM,DMDQ是M的切线,DQDM,MDQMOD90,DMOQMD,DMOQMD,DM2MOMQ,MPMD,MP2MOMQ,PMOPMQ,PMOQMP,DM2MOMQ,253MQ,MQ,9如图,已知AB,CD为O的直径,过点A作弦AE垂直于直径CD于F,点B恰好为的中点,连接BC,B
13、E(1)求证:AEBC;(2)若AE2,求O的半径;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积(1)证明:连接BD,AB,CD为O的直径,CBDAEB90,点B恰好为的中点,AC,ABE90A,CDB90C,ABECDB,AEBC;(2)解:过点A作弦AE垂直于直径CD于F,AABE,A30,在RtABE中,cosA,AB4,O的半径为2(3)连接OE,A30,EOB60,EOB是等边三角形,OBOE2,SEOB2,S阴S扇形SEOB10如图,AB为O的直径,CDAB于点G,E是CD上一点,且BEDE,延长EB至点P,连接CP,使PCPE,延长BE与O交于点F,连结BD,FD(1)连结BC,求证
14、:BCDDFB;(2)求证:PC是O的切线;(3)若tanF,AGBG,求ED的值解:(1)证明:因为BEDE,所以FBDCDB,在BCD和DFB中:BCDDFBCDBFBDBDDB所以BCDDFB(AAS)(2)证明:连接OC因为PECEDB+EBD2EDB,COB2EDB,所以COBPEC,因为PEPC,所以PECPCE,所以PCECOB,因为ABCD于G,所以COB+OCG90,所以OCG+PEC90,即OCP90,所以OCPC,所以PC是圆O的切线(3)因为直径AB弦CD于G,所以BCBD,CGDG,所以BCDBDC,因为FBCD,tanF,所以tanBCD,设BG2x,则CG3x连接
15、AC,则ACB90,由射影定理可知:CG2AGBG,所以AG,因为AGBG,所以,解得x,所以BG2x,CG3x2,所以BC,所以BDBC,因为EBDEDBBCD,所以DEBDBC,所以,因为CD2CG4,所以DE11如图1,在直角坐标系中,直线l与x、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,)两点,BAO的角平分线交y轴于点D点C为直线l上一点,以AC为直径的G经过点D,且与x轴交于另一点E(1)求出G的半径r,并直接写出点C的坐标;(2)如图2,若点F为G上的一点,连接AF,且满足FEA45,请求出EF的长?解:(1)连接GD,ECOAB的角平分线交y轴于点D,GADDAO,GDGA,GDAG
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- 2020 年中 三轮 冲刺 复习 同步 练习 相关 证明 计算
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