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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学3(换元法)教案第 7 讲 换元法(高中版) (第课时)神经网络准确记忆!换元法重点难点好好把握!重点:1;2;3。难点:1;2;3;。考纲要求注意紧扣!1;2;3。命题预测仅供参考!1;2;3。考点热点一定掌握!换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式
2、的一个部分或改造原来的式子。换元的关键是构造元和设元。换元的实质是转化,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式。换元后要注意新变量的取值范围,它既不能缩小也不能扩大。换元法在因式分解、化简求值、恒等式证明、条件等式证明、方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何等问题中有广泛的应用。换元的常用策略有:整体代换(有理式代换,根式代换,指数式代换,对数式代换、复变量代换)、三角代换、均值代换等。整体代换:在条件或者结论中,某个代数式反复出现,那么我们可以用一个字母来代替它,
3、当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4220,先变形为设2t(t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角代换:如果把代数式换成三角式更容易求解时,可以利用代数式中与三角知识的联系进行换元。例如求函数y的值域时,易发现x0,1,设xsin ,0,,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。又如变量x、y适合条件xyr(r0)时,则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值代换:对两个类似的式子,可令其算术平均值为t进行换元;如果遇到形如 或 这样的对称结构,可设 xt ,yt 或 ,等等。1换元法在方程
4、中的应用我们知道,解分式方程时一般用“去分母”的方法,把分式方程化成整式方程来解;解无理方程一般用“两边乘方”的方法,将无理方程化成有理方程来解。然而利用这些常规的变形方法解题,有时会产生高次方程,解起来相当繁琐,甚至有时难于解得结果。对于某些方程,我们可以用新的变量来替换原有的变量,把原方程化成一个易解的方程。例.(高二)如果关于x的方程 有相异的四实根,求的范围。分析:此题已知条件的形式比较陌生,我们先看看能不能把它转化为我们所熟悉的形式。令 ,则原方程化为: 使原方程有相异的四实根等价于使方程有两不等正根。由此得 即 解之得 且 2换元法在不等式中的应用例.(高二)设对所于有实数x,不等
5、式xlog2x loglog0恒成立,求a的取值范围。 分析:不等式中,log、 log、log 三项有何联系?对它们进行变形后再实施换元法。解: 设 logt ,则loglog3log3log3t ,log2log2t ,代入后原不等式简化为 (3t)x2tx2t0 ,它对一切实数x恒成立, ,解之得 , t0 即 log0 ,01 ,解之得 0a1 。点评:本题使用换元法解不等式。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。3换元法在函数中的应用例.(高一)已知f(x+1)为奇函数,f(x)=x(x+1),(x1时函数f(x)的解析式。解:令x=t+1(t0), f(x)=x(x+1)
6、(x0),则f(T+1)=-(T-1)(T-2), , f(x)=-(x-2)(x-3)=-x2+5x-6,(x1) 。点评:本题使用换元法求函数解析式。4换元法在数列中的应用例.(高三)已知数列a中,a1,aaaa,求数列通项a。解:已知式变形为 1 ,设 b ,则为等差数列, b1 ,b1(n1)(-1)n , a 。5换元法在复数中的应用对于涉及模及多变元的复数问题,基于运算方面的考虑,可以利用换元法简解。6换元法在三角中的应用例.(高一)设a0,求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。解: 设sinxcosxt,则t-,,由 (sinxcosx)12si
7、nxcosx 得 sinxcosx , f(x)g(t)(t2a) (a0) t-,,当xy t- 时, g(t)取最小值 2a2a 。当 2a 时,t,f(x)取最大值 2a2a ;当 00恒成立,求k的范围。分析:由已知条件 1 ,可以发现它与ab1有相似之处,于是实施三角代换。解:由 1 ,设 cos ,sin ,即 ,代入不等式 xyk0 得 3cos4sink0 ,即k3cos4sin5sin(+) ,所以k0 平面区域kxy本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式axbyc0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分
8、。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上xyk0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组有相等的一组实数解,消元后由0可求得k3,所以k-3时原不等式恒成立。能力测试认真完成!参考答案仔细核对!12345678方程不等式函数数列复数三角解析几何1.(高二)解不等式 log(21) log(22) 。解:设 log(21)y ,则 y(y1)2 ,解之得 2y1),求f(x)的值域。解:设x1t (t1),则f(t)log-(t-1)4,所以值域为(,log4。点评:本题使用换元法求函数值域。3.(高一)求函数y=sin2x-3sinx
9、+32-sinx的值域。解:原函数变形得 y=(2-sinx)2-(2-sinx)+12-sinx=2-sinx-12-sinx1 ,令 t=2-sinx ,t1,3 ,即y=t+1t1 ,易知当 t0,1 时为减函数;t1,+时为增函数,故当 t=1 ,即sinx=1 ,x=2k+2 kz 时, ;当 t=3 时,即 sinx=-1 ,x=2k-2 kz 时,。故y1,73。点评:本题使用换元法求三角函数值域。4*.(高一.超纲)已知,且 (式),求的值。解法一: 设 k ,则sinkx ,cosky ,且sincosk(x+y)1 ,代入式得: ,即 ,设 t ,则 t , 解之得 t3 或 t , 或 。解法二: 由 tg ,将等式两边同时除以,再表示成含tg的式子:1tgtg ,设 tgt ,则 3t10t30 , t3 或 t , 解之得 或 。点评:第一种解法由而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知式变形为,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。-
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