高中数学解题基本方法换元法.doc
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1、高中数学解题基本方法换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化, 这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变 换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂 问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起 来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的 计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研 究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
2、换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已 知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4x2x20,先变形为设 2xt(t0),而变 为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 yx1 x的值域时,易发现 x0,1,设 xsin2 ,0, 2,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件x2y2r2(r
3、0)时,则可作三角代换 xrcos、yrsin 化为三角问题。均值换元,如遇到 xyS 形式时,设 xS 2t,yS 2t 等等。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量 范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0, 2。、再现性题组:、再现性题组: 1.ysinxcosxsinx+cosx 的最大值是_。2.设 f(x21)log a(4x4) (a1) ,则 f(x)的值域是_。3.已知数列an中,a11,an1anan1an,则数列通项an_。4.设实数 x、y 满足 x22xy10,则 xy 的
4、取值范围是_。5.方程13 13 xx3 的解是_。6.不等式 log2(2x1) log2(2x12)2 的解集是_。【简解】1 小题:设 sinx+cosxt2,2,则 yt22t1 2,对称轴t1,当 t2,ymax1 22;2 小题:设 x21t (t1),则 f(t)loga-(t-1)24,所以值域为(,loga4;3 小题:已知变形为11an1 an1,设 bn1 an,则 b11,bn1(n1)(-1)n,所以 an1 n;4 小题:设 xyk,则 x22kx10, 4k240,所以 k1 或 k1;5 小题:设 3xy,则 3y22y10,解得 y1 3,所以 x1;6 小题
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