同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程ppt课件.ppt
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1、1高等数学 第二十九讲2一阶线性微分方程 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 3一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;其中P(x), Q(x)是x 的已知函数 ,Q(x)为自由项。 1 2称P(x)为变系数;4常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通
2、解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .),()(xyxu原未知函数新未知函数设通解形式设通解形式dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy5对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程解非齐次方程用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即设(1)的解为xxPeuxPd)()(xxPexQ
3、xud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得 1)()(ddxQyxPxy6解解 52d2(1).d1yyxxx直接应用一阶微分方程通解公式 25112xxQxxPCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(Cxexexxxxd1d1225d12Cxexexxd11ln2251ln2 xexlncxdxx21211Cxxy232) 1(32) 1(故原方程通解为例例1. 解方程 7例例2 求微分方程0)sin(dxxyxdy的通解。解:解: 原式整理为0sin1xxxyxyxP1xxQsin由公式得通解sin11CxdexxeyxdxxdxsinlnlnCxdexxexxsin1
4、Cxxdxcos1xCx8例例3: 求微分方程0tansinxdyydyx满足6|1xy的特解。上式不是一阶线性方程的形式,函数,方程可写为:yxyydxdcoscot此方程为一阶线性微分方程。通解:通解:coscotcotCydeyexydyydyyyCcsc2cos41 解:解:若将 x 看成 y 的用通解公式有:,6|1xy58C 特解:特解:51cos2csc84xyy9yyxyydydxcossin2sincos,tan2sinyxy ,2sintanyxydydxCdyeyexyycoslncosln2sinCdyyyyycoscossin2cos.cos2cosyCy求微分方程y
5、xyyyysin2sincoscos的通解.例例4解解10例例5 求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0解解:令txuuufxxfxd)(sin)(0 xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf方程两边求导,整理得uxtudtd11解法解法1 化为齐次方程, 原方程变形为1ddyxyyxyx,uyx 令,则uyux1uuyuyyudd积分得Cyuln将yxu 代入 ,yCyxln得通解例例6:求下列微分方程的通解.ydxxd yyd y12解法解法2 化为线性方程. 原方程变形为11ddxyyx1,1QyPyyex
6、d11yyed1Cy dycyyd1lncyy其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即Cyyxlnydxxd yyd y13例例7. 7. ),)(0Cxfdxdyyx21fetf2222t4yx22t4)()().(tfdxdyyx21f222t4yx22)(22401( )2()2ttf terfr dr)()(ttf24te8tf2t42t4te8ttf8tf)()(2848( )(8)tdtttdtf teteedtc)(ct4e2t42010f)(1c )()(1t4etf2t42设且满足方程求解解:即 求导得: 即 从而求得通解 又故所以 tdrrrf20)21(21
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