江苏省2019高考数学二轮复习第20讲数列的综合应用课件ppt.ppt
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1、第第2020讲讲 数列的综合应用数列的综合应用第20讲数列的综合应用 1.在公比为q且各项均为正数的等比数列an中,Sn为an的前n项和.若a1=,则S5=S2+2,且q的值为.21q答案答案512解析解析由an0及a1=,则S5-S2=a3+a4+a5=a1q2+a1q3+a1q4=1+q+q2=2,解得q=(舍负).21q5122.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.答案答案2解析解析由S3,S9,S6成等差数列得S3+S6=2S9,则公比q1,q3+q6=2q9,2q6-q3-1=0,则q3=-.又a2+a5=a2(1+q3)=a
2、2=4,则a2=8,所以a8=a2q6=8=2.12122123.设等差数列an的前项n和为Sn,若a5=3,S10=40,则nSn的最小值为.答案答案-32解析解析设等差数列an的公差为d(d0),则a5=a1+4d=3,S10=10a1+d=40,解得a1=-5,d=2,则nSn=n(n2-6n)=n3-6n2.令f(x)=x3-6x2,x0,则f(x)=3x2-12x=3x(x-4),x0,当x(0,4)时,f(x)0,f(x)递增,f(x)min=f(4)=64-96=-32,所以nSn的最小值为-32.10 92题型一数列中的最值问题题型一数列中的最值问题例例1 (2018南京师大附
3、中高三模拟)已知等差数列an和等比数列bn均不是常数列,若a1=b1=1,且a1,2a2,4a4成等比数列,4b2,2b3,b4成等差数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)设m,n是正整数,若存在正整数i,j,k(ijk),使得ambj,amanbi,anbk成等差数列,求m+n的最小值;(3)令cn=,记cn的前n项和为Tn,的前n项和为An.若数列pn满足p1=c1,且对n2,nN*,都有pn=+Ancn,设pn的前n项和为Sn,求证:Sn4+4lnn.nnab1na1nTn解析解析(1)设等差数列的公差为d(d0),等比数列的公比为q(q1),由题意得:解得d=1,q=2,所以an=
4、n,bn=2n-1.(2)由ambj,amanbi,anbk成等差数列,有2amanbi=amabj+anbk,即2mn2i-1=m2j-1+n2k-1,由于ij0,2,则有m+n6.所以m+n的最小值为6,当且仅当j-i=1,k-i=2且或时取得.(3)证明:由题意得:p2=+c2,p3=+c3,pn=(c1+c2+cn-1)+cn,又p1=c1,则Sn=p1+p2+p3+pn=(c1+c2+c3+cn)=Tn.Tn=c1+c2+c3+cn,1n2m4,2mn3,3mn12c112123cc111231n1112n111123n111123nTn=c1+c2+cn,12121212-得Tn=
5、1+-=2-2-n,求得Tn=4-(n+2)4,所以Sn1),则f(x)=-=0,所以f(x)在(1,+)上单调递增,有f(x)f(1)=0,可得lnx1-.当k2,且kN*时,1,有ln1-=,所以ln,ln,ln,可得1+1+ln=1+lnn,12121418112n2nn12n12n112n111123n1x1x21x21xx1x1kk 1kk 1kk1k122113321n1nn12131n2 311 221nnnn所以Sn44(1+lnn),即Sn4+4lnn.【方法归纳】数列是一种特殊的函数,不仅等差数列的最值问题可以利用函数的性质来解决,其他数列的最值问题也可以借助函数的性质解决
6、.111123n题型二数列中的新定义问题题型二数列中的新定义问题例例2 (2018南京高三第三次模拟)若数列an满足:对于任意nN*,an+|an+1-an+2|均为数列an中的项,则称数列an为“T数列”,(1)若数列an的前n项和Sn=2n2,nN*,求证:数列an为“T数列”;(2)若公差为d的等差数列an为“T数列”,求d的取值范围;(3)若数列an为“T数列”,a1=1,且对于任意nN*,均有an-an+1,求数列an的通项公式.21na2na解析解析(1)证明:当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2.又a1=S1=2=41-2,所以an=4n-2.所以an
7、+|an+1-an+2|=4n-2+4=4(n+1)-2为数列an的第n+1项,因此数列an为“T数列”.(2)因为数列an是公差为d的等差数列,所以an+|an+1-an+2|=a1+(n-1)d+|d|.因为数列an为“T数列”,所以任意nN*,存在mN*,使得a1+(n-1)d+|d|=am,即有(m-n)d=|d|.若d0,则存在m=n+1N*,使得(m-n)d=|d|;若d0,则m=n-1.此时,当n=1时,m=0不为正整数,所以d0不符合题意.综上,d0.(3)因为anan+1,所以an+|an+1-an+2|=an+an+2-an+1.又因为anan+an+2-an+1=an+2
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