黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系.doc
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1、.-数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉69 赵志阳黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 1、黎曼积分定义:设 在上有界,对做分割,其中令,若有 则称在上黎曼可积.2、勒贝格积分定义:, ,作,其中,分别为在上的上界和下界,令,若存在,则勒贝格可积. 3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E上可测,若记,,则有,若,不同时为,则在上的积分确定且. 4、 简单函数的勒贝格积分定义:设是可测集上的非负简单函数,于是有对的划分,在上的取值为,则,定义的勒贝格积分
2、为,若,则称在上勒贝格可积. 5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取上的非负简单函数列,对任意的,都收敛于,则在上勒贝格可积其积分为.对一般的函数由于,则.若左端的两个积分值都有限时,称在上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件黎曼可积的条件必要条件定义在上的黎曼可积的必要条件是在上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. 黎曼可积的充分必要条件1、设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为在上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设在上有界,为对的任一分
3、割,其中令,有.2、设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为,总存在某一分割,使得 .3、设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为,总存在某一分割,使得 成立.4、定义在上的函数黎曼可积的充分必要条件为在上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.勒贝格可积条件1、设是定义在可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件为,总存在的某一分割,使得 . 2、设是定义在可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件为在上勒贝格可测.3、设在上的黎曼反常积分存在,则在上勒贝格可积的充要条件为在上的黎曼反常积分存在,且有 .4、设为上的可测函数列,在上
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