2022年随机事件与概率终版 .pdf
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1、第一章随机事件与概率1 第一章随机事件与概率(12学时)一、学习要点:1.随机事件的概念及概率的性质2.两种特性:不相容性、独立性3.五个概率公式:加法公式、条件概率计算式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式4.三类概型:古典概型、几何概型、独立试验序列概型二、本章重点:随机事件的概念;事件之间的关系及运算;事件频率与概率的概念;概率的古典定义;概率的基本性质;条件概率的概念与概率的乘法定理,全概率公式;事件独立性的概念及贝努利概型。三、本章难点:条件概率、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式的应用。四、基本要求1. 理解随机事件的概念,了解样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算。2. 理解事
2、件频率的概念,了解概率的统计定义。3. 理解概率的古典定义,会计算简单的古典概率。4. 了解概率的公理化定义。5. 掌握概率的基本性质及概率加法定理。6. 理解条件概率的概念,掌握概率的乘法定理,理解全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式,并学会运算和计算。1.理解事件的独立性概念,掌握(Bernoulli) 概型及其计算方法。五、内容结构名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率2 第一节随机事件随机
3、现象:在自然界与人类社会中普遍存在着两类现象:确定性现象与随机现象。确定性现象是指在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。如水在0要结冰;没有氧气人不能存活;没有水植物不能生长等等。随机现象是指一定条件下结果不可预知的现象,它也许将发生也许不发生。如随意抛一枚硬币, 结果可能是正面向上也可能是反面向上;任意地抛一枚均匀的骰子 , 掉下时六个面哪个面都有可能出现在上边;春耕粮种播种下地,秋天也可能丰收也可能欠收; 一个国家采用提高利率控制信贷的货币财政政策控制经济过热,可能短期见成效也可能收效甚微。随机试验:要研究随机现象, 找出其存在的统计规律, 就需要对相应的客观事物进行制作或跟踪观察,这整
4、个过程就称为随机试验,后面也简称试验。随机试验的三个特性:概率论里研究的试验应具有下列三个特性:(1) 可重复性在相同的条件下试验可以重复进行;(2) 多样确定性试验结果不唯一,即具有两种及两种以上的可能结果;但其全部可能的结果在做试验之前是确切知道的。(3) 不可预知性一次试验, 在结束之前不能准确预知其结果是可能结果中的哪一种。(一) 、随机事件与样本空间随机事件: 随机试验的可能结果称为随机事件,也简称事件。随机事件的分类:复 杂 事 件基 本 事 件按 事 件 的 组 成 分i;不 可 能 事 件一 般 事 件必 然 事 件按 发 生 可 能 性 分在事件中,有的可看成是多个事件的组合
5、, 有的却不能分为其它事件的组合。这种不能分为其它事件组合的最简单的事件称为基本事件,由多个事件组合而成的事件称为复杂事件。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率3 一个试验中,每一个不可细分的可能结果称为一个样本点,记为i;一个样本点即构成一个基本事件。 所有样本点的集合称为样本空间, 记为,或=n,21。从集合论的观点看,这种记法表明所有事件是集合,其元素是样本点;一般事件是样本空间的子集,样
6、本空间是最大的一个事件。在试验中, 某个可能结果最终出现了,我们称该事件发生了。每次试验中一定要发生的事件称为必然事件,为必然事件;一定不发生的事件称为不可能事件,记为。必然事件和不可能事件都是确定事件,为随机事件的两个极端,通常仍称它们为事件。例 1.1任意抛一枚均匀的硬币,观察硬币着地时出现在上的面。这是一个试验,其样本空间:=反面正面,。例 1.2记录电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数。其样本空间:= , 2, 1 , 0。例 1.3对某企业生产的同型号灯泡做破坏性试验,测灯泡的寿命。其样本空间=, 0或=0t t。样本空间中,有的样本点数为有限个 (如例 1)有的为无限个 (如例 2
7、 例 3) ;有的样本点可列(如例2)有的却不可列(如例3) 。(二) 、事件之间的关系与运算掌握运算表达方式 _集合论的符号会翻译集合论语言 (符号)到概率论语言 (事件的真实含义 ) .会作图表示事件的集合符号式在一个样本空间中, 有简单事件也有复杂事件, 复杂事件是由简单事件组合而成。通过对简单事件的了解研究,可以掌握较复杂的事件。这需要首先研究事件之间的关系及其运算,并用简单的符号或方式描述它们。由事件的组成看任意事件都是集合,因此借用集合论的语言即集合的符号、集合的关系及其运算的法则规定来表出事件的关系运算。一般的事件可用符号A,B,, ,等大写字符表记。设A,B,1A ,2A ,,
8、 ,nA 等为事件,那么事件的关系与运算可表述如下。(1)事件的包含若事件B发生必然导致事件A发生,则称事件A包含事件B或事件B包含于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率4 事件A,记为AB(或BA) 。(2)事件相等若BA且AB,称事件A、B相等,记为BA。(3)和事件两个事件A、B中至少发生一个,即“A发生或B发生”这一事件称为A、B的和事件,记为BA或A+B。(4)积事件两个事件A、B同时
9、发生 ,即A发生且B也发生为一个事件 ,称为A与B的积事件,记为BA或AB。(5)差事件事件A发生但B不发生为一个事件 ,称为A与B的差事件,它是由属于A但不属于B的基本事件构成的集合,记为BA。(6)事件互不相容(互斥)如果事件A、B不能都发生,即AB=0,称事件A与B互不相容。互不相容的两事件没有共同的基本事件。若事件1A ,2A ,, ,nA 满足jiAA(njiji,2, 1,;) ,称1A ,2A ,, ,nA 两两互不相容,也简称1A ,2A ,, ,nA 为互不相容事件。(7)对立事件(互逆事件)事件A称为事件A的对立事件,它是由样本空间里所有不属于A的样本点构成的集合,记为A。
10、(8)完备事件组若事件组1A ,2A , , ,nA 为两两互不相容的事件, 而且nAAA21=,称1A ,2A ,, ,nA 为一个完备事件组。有时,以几何图示来辅助表示事件或简化复杂事件,可起到形象直观快捷的作用。一般地,用矩形表示样本空间;用矩形内的圆圈表示一般事件。事件关系与运算的几何表示如图1.1。( a)AB(b)BA(d)ABA B AA B A B AB 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随
11、机事件与概率5 (e)AB(f)A与B互不相容(g)A图 1.1 事件关系与运算示意图例1.4掷一颗骰子的试验,观察出现的点数。事件A表示奇数点;B表示点数小于 5;C表示小于 5 的偶数点。用集合的列举法表示事件:,A,B,C,BA,BA,BA,AB,BA。解:=6, 5 ,4, 3 ,2 , 1,A=5, 3, 1,B=4, 3 ,2, 1,C=4, 2,BA=5 , 4, 3, 2, 1,BA= 5 ,BA= 5 =BA,AB=6, 5, 4, 2,BA= 6 。例 1.7用图示法化简或证明下列各式(事件A、B、C相容) :(1)BABABA; (2)CBABAA=CBA。解:作图如下:
12、B A (1)BABABA(2) CBA图 1-3 由图示可得:(1)BABABA=AB;(2)CBA=BACABA=CBABAA。实际上,事件的运算与集合的运算一样,也满足如下规律:(1)交换律ABBA,BAAB;(2)结合律CBA=CBA,CBA=CBA;B A AB AA A B A B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率6 (3)分配律CBA=CABA,CBA=CABA;(4)德.
13、 摩根(De Morgan)法则BABA,BABA。这些规律可以推广到有限个和可列个事件的情形。关于它们的应用, 要注意领会概率论的含义。第二节频率与概率概率论研究的是随机事件量的规律性,因此除了解研究一个试验中含有的事件、事件的关系与运算以及其表述之外,更重要的是对事件发生可能性大小作量的描述,也就是以一个数来表出一个事件发生可能性大小,这个数就是事件发生的概率。一个事件的概率这个数如何求得,或者说如何测得呢?先来看看事件的频率。定义 1.1 频率重复做某个试验 n 次,对于试验中的某个事件A发生了Am次,称Am 为事件A发生的频数;称nmAfAn为事件A发生的频率。显然,必然事件的频率为1
14、,不可能事件的频率为0,一般事件的频率介于0 与 1 之间;对不相容事件BA与,若在n次试验中它们发生的频数分别为Am 、Am ,则和事件BA的频率为:BfAfnmnmnmmBAfnnBABAn即频率具有可加性。总结可得频率的性质:(1)非负性0Afn;(2)规范性1nf;(3)可加性若1A ,2A ,, ,kA 为两两互不相容的事件,则knnnnnAfAfAfAAAf2121。一般而言,对试验中的事件A,重复次数 n 不同所得的频率Afn是不一样的。不过,通过前人大量实验研究得知,随着试验次数n的增大,频率Afn的取值逐渐稳定趋近常值。为此,作出如下概率的统计定义。定义 1.2 概率的统计定
15、义在相同条件下,重复做试验n次。当次数n足名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率7 够大时,事件A的频率Afn渐趋稳定,在一个常数p附近摆动, n越大摆动幅度越小。称常数p为事件A发生的概率,记为AP(即AAP) 。实际上,一个事件发生的概率的大小是由事件本身的结构决定的。概率的统计定义也没界定出概率的计算方法,它的实用性就在于实践中以频率代替概率,找寻出概率的近似值。这在科学探索的过程中应用很广
16、,作用也很大。如保险产品设计中涉及事故发生、 疾病死亡等事件的概率问题, 常常以相应区域长期统计数据为依据推演估算概率; 人的寿命分布问题也常以人口普查和医疗统计数据为基础推算而得。不过,从概率的统计定义可以归结出概率的性质。性质 1概率具有非负性:任意事件A有0AP。性质 2 概率的规范性:1P。性质 3概率具有可列可加性:若1A ,2A ,, ,nA ,, 为两两互不相容的事件,则:nnAPAPAPAAAP2121。上面三条性质在严格的概率体系中作为公理构成概率的公理化体系,把它们作为概率必须具备的基本属性从而形成为建立概率的数学理论的出发点。性质 40P。性质 5有限可加性:若1A ,2
17、A ,, ,nA 为两两互不相容的事件,则:nnAPAPAPAAAP2121。性质 5 由概率的可列可加性和性质4 就可推证出来,这只需把可列可加性中的nA 事件之后的全设为不可能事件就可以了。性质 6 APAP1性质 7ABPAPBAP特别地若BA,就有BAB,加上概率的非负性则:BPAPBAP,且BPAP。性质 8任意事件A有10AP。性质 9ABPBPAPBAP(公式 1-1)由例 1.7 可知ABABAABA,且A与BA不相容,所以:ABPBPAPABPAPABAPBAP,即ABPBPAPBAP,这就是概率的加法公式。对于三个事件的加法公式为:ABCPBCPACPABPCPBPAPcB
18、AP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率8 (公式 1-2)加法公式可以推广到任意有限个事件的情形:ninjinkjinnkjijiiniiAAAPAAAPAAPAPAP11121111(公式 1-3)有了概率的性质,就可以由一些事件的概率去求出一些相应组合事件的概率。例 1.8已知BA,AP=0.4,6 .0BP,求: (1)BPAP,;(2)ABP; (3)BAP; (4)BAP; (5)B
19、AP。解: (1)8 . 02.011APAP,4 .06 .011BPBP;(2)因为BA,所以AAB,故:4.0APABP;(3)6. 0BPBAP;(4)2 .04.06.0ABPBPABPBAP;(5)6.04 .0111BAPBAPBAP。例 1.9已知4. 0AP,2 .0ABP,1 .0BACP,求CBAP。解:CBAP=BACABAP=AP+ABP+BACP=1.02 .04 .0=7.0总之同一事件可能有多个等价的表达形式,通过变形、利用概率的性质就可以比较顺利地求解问题。第三节古典概型与几何概型一、古典概型具有两个共同的特性:(1)有限性所有的基本事件为有限个;(2)等可能
20、性每个基本事件发生的可能性是相同的。设试验中的任意事件A含有基本事件E,若事件E发生必然导致事件A发生,即事件E的发生有利于事件A的发生,故称事件E为事件A的有利事件。定义 1.3 概率的古典定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率9 nmAPA其中 n为古典概型中试验次数,Am 为事件A所含的有利事件的数目。概率的古典定义, 指明了这类问题中事件概率的计算方法。可以看出这类问题中事件概率的计算
21、非常简单, 其关键是找出试验中的基本事件总数和事件A的有利事件数。例 1.10 一批产品共有100 件,其中一等品50 个,二等品 40 个,等外品10 个,规定一、二等品为合格品。求一、二等品率与次品率。解:设A表事件取到一等品,B表事件取到二等品,C表事件取到次品,据题意有:5 .010050AP;4.010040BP;1 .010010CP。也可解为:1 .011BPAPBAPBAPCP。例 1.11 箱内装有 4 个红球 5 个白球,从中任取 2 个。求取到 2 个都是白球的概率。解: 令A表事件取得 2 个白球;九个球中任取2 个的总取法数为36!28929C;2 个白球应从 5 个
22、白球中任取,故有利事件数为1025C,由概率的古典定义有:36102925CCAP。例 1.12 一辆飞机场的交通车载有25 名乘客,途经 9 个站,每位乘客等可能在 9 个站中任意一站下车, 交通车只在有乘客下车时才停车。求下列各事件的概率:(1)交通车在第i站停车;(2)交通车在第i站和第j站至少有一站停车;(3)交通车在第i站和第j站均停车;(4)在第i站有三人下车。解:令iA 表交通车在第i站停车9,2, 1i;B表第i站有 3 人下车。(1)交通车在第i站停车,表明第i站至少有一个人下车;其对立事件就是所有人都在其余 8 个站中的任意一个站下车。由等可能性及概率的性质可得:25259
23、811iiAPAP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机事件与概率10 (2)25259711jijiAAPAAP(3)jijijijiAAPAPAPAAPAAP11,由各站地位的对等性有jiAPAP,故:2525252597982121jiijiAAPAPAAP(4)2233252522325989198CCBP例 1.13 设有 n 个人, 每个人都等可能被分配到N个房间中的任意一间去住(Nn) ,求下
24、列事件的概率:(1)指定的 n 个房间各有一个人住;(2)恰好有 n 个房间各有一人住。解:设A表事件指定的 n个房间各有一个人住,B表恰好有 n个房间各有一人住。(1)对每个人有N个房间可供选择,无限制的情况下可以多人甚或所有人同住一个房间,因此n个人住房的分配总方案数应为nN;指定 n个房间各有一个人住,表明房间已定不用选择了,分配方案数是n的全排列数!n,所以:nNnAP!;(2) n个房间可以在N个房间中任意选择,故:!nNNNNnCBPnnnN此例常被称为“分房问题”。若把例中的人理解为粒子,房间理解为能级,结果作 为 一 个 模 型 描 述 的 就 是 统 计 物 理 学 中 的
25、马 克 斯 威 尔 波 尔 兹 曼(Maxwell-boltzman )统计;若粒子(人)是不可分辨的,那么模型对应于波色爱因斯坦( Bose-Einstein)统计;若粒子不可分辨,且每个房间里最多只放一个粒子,则得到的是费米狄拉克(Fermi-Dirac)统计。这三种统计在物理学里有各自的适用范围。其实,各例中的球、人、房间等,都可以是其它事物,只要所考虑的问题的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 23 页 - - - - - - - - - 第一章随机
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