第6章微分方程系统求解的伪谱方法ppt课件.pptx
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1、航空航天中的计算方法航空航天中的计算方法授课教师:陈琪锋授课教师:陈琪锋中南大学航空航天学院中南大学航空航天学院第第二二部分部分 边值问题边值问题求解方法求解方法第第6章章 微分方程求解的微分方程求解的伪伪谱法谱法航空航天中的计算方法Page 4变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-7内容提要内容提要6.1谱方法及伪谱法的概念谱方法及伪谱法的概念6.
2、2谱方法与谱方法与Lagrange插值插值6.3正交多项式正交多项式6.4最最优配点优配点分布分布6.5微分微分矩阵与两点边值问题矩阵与两点边值问题求解求解1 John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods (Second Edition), DOVER Publications, Inc., 2000.Chap.1,3-62 Shen, J., and Tang, T., Spectral and High-Order Methods with Applications(谱方法和高精度算法及其应用)(谱方法和高精度算法及其应用), S
3、cience Press, Beijing, 2006, Chap.(1.1-1.3;2.1,2.4).航空航天中的计算方法Page 5变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-76.1 谱方法谱方法及伪谱法及伪谱法的概念的概念以以N+1个个全局全局基函数的加权和近似某一连续函数:基函数的加权和近似某一连续函数:其中其中: 为多项式或三角函数。为多项式或
4、三角函数。残差函数:残差函数:例,二阶微分方程求解例,二阶微分方程求解残差为残差为某种准则下某种准则下使使残差最小残差最小,确定系数。,确定系数。 6.1 谱方法谱方法及伪谱法的及伪谱法的概念概念xx 0( )( )( )Nkkkyyx ( )kx( )ikxkxe Fourier谱方法谱方法xxxxx( )( )( , ( ),( )Ryfyy x 01( ;,)NRxxxx( )( , ( ),( )yfyy 谱方法谱方法航空航天中的计算方法Page 6变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变
5、电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-7在与在与未知未知量个数相对的特定点处令残差为零:配点法量个数相对的特定点处令残差为零:配点法加权残差加权残差为零:为零:加权残差法加权残差法Galerkin法:法: 。12()0,1,2,iNRiNab xx( ) ( )0,1,2,biawRdxiN ( )iw x为权函数为权函数( )( )iiw xx 采用最佳配点的谱方法,即伪采用最佳配点的谱方法,即伪谱谱法。法。6.1 谱方法谱方法及伪谱法的及伪谱法的概念概念航空航天中的计算方法Page
6、 7变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-7谱方法、有限单元法、有限差分法的谱方法、有限单元法、有限差分法的区别:区别: 有限单元法有限单元法将区间分成一些子区间,在子区间选择将区间分成一些子区间,在子区间选择局部局部多项式基多项式基函数函数 有限差分是局部计算有限差分是局部计算 谱方法应用谱方法应用具有高阶次的具有高阶次的全局全局基函数在整个计算域
7、基函数在整个计算域上上6.1 谱方法谱方法及伪谱法的及伪谱法的概念概念航空航天中的计算方法Page 8变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-7伪谱方法精度高、收敛快、存贮省伪谱方法精度高、收敛快、存贮省,适用于问题适用于问题的几何的几何特征平滑特征平滑和规则和规则时时伪谱伪谱法法的问题:的问题: 如何选择最优的基如何选择最优的基函数?函数? 如何如何
8、选择选择最最优的优的配配点点?6.1 谱方法谱方法及伪谱法的及伪谱法的概念概念航空航天中的计算方法Page 9变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-76.2 谱方法谱方法与与Lagrange插值插值6.2.1 Lagrange插值插值 对函数对函数f(x),根据,根据N+1个插值点的函数值,构造个插值点的函数值,构造N次插值次插值多项式近似:多项式近
9、似:其中,插值基函数:其中,插值基函数: 任意任意N次多项式次多项式 Lagrange插值形式插值形式 6.2 谱方法谱方法与与Lagrange插值插值x0( )()( )NNiiiPf x Cx 0,( )Nkikk iikxxCxxx ()ijijCx x0( )()( )NNNiiiPPx Cx x 0( )( )NNiiiPx 等价等价()()NiiPxf x 航空航天中的计算方法Page 10变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统
10、相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-76.2.2 Runge现象现象 对任意光滑函数对任意光滑函数f(x),根据,根据均匀分布均匀分布的的N+1个插值点的函个插值点的函数值,构造数值,构造N次次Lagrange插值近似,误差随插值近似,误差随N增大趋于增大趋于0?例:例: 21( ),5,51f xxx 两端点附近的误差大两端点附近的误差大端点端点附近插值点增多,中间可减少附近插值点增多,中间可减少插值插值点点随均匀分布时,随均匀分布时,误差随点数增多不收敛误差随点数增多不收敛6.2 谱方法谱方法与与Lagrange插值插值航空航天中的计
11、算方法Page 11变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-76.3 正交多项式正交多项式6.3.1 函数正交性与正交多项式函数正交性与正交多项式 函数函数f(x)与与g(x) 在加权在加权Sobolev空间空间 上正交,是指上正交,是指其中其中 为为 上的正值权函数。上的正值权函数。 正交多项式序列是指一系列的多项式正交多项式序列是指一系列的多项式
12、,满足,满足 可规范化为可规范化为x的的n次首一多项式:次首一多项式: 6.3 正交多项式正交多项式 ,:,( ) ( ) ( )0baf gf gx f x g x dx x( )1( )10( )nnnnnnpxaxa ( )x2( , )La b( , )a b 0( )nnpx ( )npx,0ijppforij 航空航天中的计算方法Page 12变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力
13、系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-7 任意任意n次多项式次多项式q(x)均可均可表示表示为正交多项式为正交多项式 的线性加权和:的线性加权和: 若多项式序列若多项式序列 是正交的,则多项式是正交的,则多项式与任何不高于与任何不高于n次的多项式正交。次的多项式正交。 若若多项式序列多项式序列 是正交的是正交的,则,则多项式多项式的零点的零点是互不是互不相同的实数,且位于相同的实数,且位于开开区间区间 内。内。6.3 正交多项式正交多项式 0( )nnpx x1100( )nnnnqb pbpb p 01,nppp1( )npx 0( )nnpx 1( )npx ( , )a b航空航天
14、中的计算方法Page 13变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-76.3.2 正交多项式的生成正交多项式的生成 根据正交多项式的定义(首一情况为例)根据正交多项式的定义(首一情况为例)当当 , 时,得到时,得到Legendre多项式多项式当当 , 时,得到时,得到Chebyshev多项多项式式6.3 正交多项式正交多项式1010,( )( )bbaa
15、ppx xdxx dx 0( )1px 11( )p xx1111( )()( )( ),1nnnnnpxxpxpxn( )1x 122( )(1)xx ( )nTx ( )nLx( , )( 1,1)a b ( , )( 1,1)a b 航空航天中的计算方法Page 14变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-7Legendre多项式多项式 :Che
16、byshev多项式多项式 :6.3 正交多项式正交多项式20121131( )1,( ),( )22(1)( )(21)( )( ),1nnnL xL xxL xxnLxnxLxnLxn ( )nTx ( )nLx201211( )1,( ),( )21( )2( )( ),1nnnT xT xxT xxTxxTxTxn航空航天中的计算方法Page 15变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系
17、统接线组成中一个重要组成部分2022-8-76.3 正交多项式正交多项式( )nTx( )nLx正交多项式曲线图:正交多项式曲线图:航空航天中的计算方法Page 16变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接,从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2022-8-76.4 最佳配最佳配点点分布分布6.4.1 Gauss求积与求积与Lagrange插值插值 将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和:将积分表
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