习题课同济大学线性代数第六章ppt课件.ppt
《习题课同济大学线性代数第六章ppt课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《习题课同济大学线性代数第六章ppt课件.ppt(83页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、:),;,(;,;,., RVVVRVVRV 设设运算规律运算规律两种运算满足以下八条两种运算满足以下八条并且这并且这记作记作的积的积与与称为称为与之对应与之对应总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素与任一元素与任一元素数数又对于任一又对于任一记作记作的和的和与与称为称为之对应之对应与与总有唯一的一个元素总有唯一的一个元素意两个元素意两个元素如果对于任如果对于任为实数域为实数域是一个非空集合是一个非空集合设设; 0 ,)4(;0 ,; 0)3();()(2(;)1( 使使的负元素的负元素都有都有对任何对任何都有都有对任何对任何中存在零元素中存在零元素在在VVVV,)()8(;)(7(;)()()
2、6(;1 )5( 那么,那么, 就称为(实数域就称为(实数域 上的)上的)向量空间向量空间(或或线性空间线性空间),), 中的元素不论其本来的性质如中的元素不论其本来的性质如何,统称为(何,统称为(实实)向量向量简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算,简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算,就称为就称为线性运算线性运算;凡定义了线性运算的集合,就;凡定义了线性运算的集合,就称为称为向量空间向量空间VRV. 00, 0)4(; 00;)1( ; 00)3(;,)2(;)1( 或或则则如果如果作作的负元素记的负元素记一的一的任一元素的负元素是唯任一元素的负元素是唯零元素是唯一的零元素是唯一的定义定
3、义设设 是一个线性空间,是一个线性空间, 是是 的一个非空子的一个非空子集,如果集,如果 对于对于 中所定义的加法和乘数两种运算中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称也构成一个线性空间,则称 为为 的子空间的子空间VLVVVLL定理定理线性空间线性空间 的非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是:必要条件是: 对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭VLVL.,)2(;,)1(:,21212121的维数的维数称为线性空间称为线性空间个基个基的一的一就称为线性空间就称为线性空间那么那么性表示性表示线线总可由总可由中任一元素中任一元素线性无关线性无关满足满足个
4、元素个元素如果存在如果存在中中在线性空间在线性空间VnVVnVnnnn 定义定义.,Vnnn记作记作维线性空间维线性空间的线性空间称为的线性空间称为维数为维数为定义定义.),(,21212122112121TnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV 并记作并记作这个基下的坐标这个基下的坐标在在这组有序数就称为元素这组有序数就称为元素使使总有且仅有一组有序数总有且仅有一组有序数任一元素任一元素对于对于的一个基的一个基是线性空间是线性空间设设一般地,设一般地,设 与与 是两个线性空间,如果在是两个线性空间,如果在它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关它们的元素之间有一一对应关系,且这个对
5、应关系保持线性组合的对应,那么就说线性空间系保持线性组合的对应,那么就说线性空间 与与 同构同构VUVU线性空间的结构完全被它的维数所决定线性空间的结构完全被它的维数所决定任何任何 维线性空间都与维线性空间都与 同构,即同构,即维数相等维数相等的线性空间都同构的线性空间都同构Rnn式可表示为式可表示为量和矩阵的形式量和矩阵的形式利用向利用向个有序元素记作个有序元素记作这这把把个基个基中的两中的两是线性空间是线性空间及及设设)1( ,),(,)1(,112211222211221221111111 nnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppV .,.,)2()1()2(.),(),( 2
6、121212121212121222121211121故过渡矩阵可逆故过渡矩阵可逆线性无关线性无关由于由于的过渡矩阵的过渡矩阵到基到基称为由基称为由基矩阵矩阵称为基变换公式称为基变换公式或或或或 nnnnnnTnnnnnnnnPPPppppppppp 则有坐标变换公式则有坐标变换公式若两个基满足关系式若两个基满足关系式下的坐标为下的坐标为在基在基下的坐标为下的坐标为在基在基中的元素中的元素设设PxxxxxxVnnnTnnTnn),(),( ,) , , ( ,),( ,212121212121 .,211212121 xxxPxxxxxxPxxxnnnn或或.),(),(,2121Pnn 式式
7、则两个基满足基变换公则两个基满足基变换公换公式换公式满足上述坐标变满足上述坐标变若任一元素的两种坐标若任一元素的两种坐标反之反之).( ,)(),(,ATTBABABA 或或记作记作或映射或映射的变换的变换到集合到集合合合这个对应规则称为从集这个对应规则称为从集那么那么和它对应和它对应中一个确定的元素中一个确定的元素总有总有按照一定规则按照一定规则元素元素中的任一中的任一如果对于如果对于设有两个非空集合设有两个非空集合 .)(,)()( ),(,.,)(,BATATATATTATTTTA 显显然然即即记记作作象象集集称称为为象象的的全全体体所所构构成成的的集集合合的的源源集集称称为为变变换换下
8、下的的源源在在变变换换称称为为下下的的象象在在变变换换称称为为变变为为把把元元素素就就说说变变换换设设 变换的概念是函数概念的推广变换的概念是函数概念的推广.,.,),()(),( ,)2();()()(),( ,)1(,21212121的对应的变换的对应的变换变换就是保持线性组合变换就是保持线性组合线性线性简言之简言之的线性变换的线性变换到到就称为从就称为从那么那么有有从而从而任给任给有有从而从而任给任给满足满足如果变换如果变换的变换的变换到到是一个从是一个从间间维线性空维线性空维和维和分别是实数域上的分别是实数域上的设设UVTkTkTVkRkVTTTVVTUVTmnUVmnnnnnmnmn
9、 .,线性变换线性变换中的中的称为线性空间称为线性空间到其自身的线性变换到其自身的线性变换间间是一个从线性空是一个从线性空那么那么如果如果特别地特别地VVTVUnnnm .,3 ;)( ,2 ;)(, 001 212122112211反之不然反之不然亦线性相关亦线性相关则则线性相关线性相关若若则则若若 mmmmmmTTTTkTkTkTkkkTTT .,0, 05 .),()(4 的核的核称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间也是也是的全体的全体的的使使的象空间的象空间称为线性变换称为线性变换的子空间的子空间是一个线性空间是一个线性空间的象集的象集线性变换线性变换TSVTVSTTVVTTTnn
10、Tnn .,)(,),(),( ,)()(,2121222211121121为单位坐标向量为单位坐标向量其中其中表示表示都可用关系式都可用关系式中任何线性变换中任何线性变换eeeaaaaaaaaaeTeTeTARxAxxTTRnnnnnnnnnn ,)(,)(,)( )(,2211222211221221111121 nnnnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaTTVVT为为用这个基线性表示用这个基线性表示下的象下的象如果这个基在变换如果这个基在变换一个基一个基中取定中取定在在中的线性变换中的线性变换是线性空间是线性空间设设., ,),(),( ),(,),(),(),(212122221
11、1121121212121的矩阵的矩阵下下在给定基在给定基就称为线性变换就称为线性变换那么那么其中其中式可表示为式可表示为上上记记 nnnnnnnnnnnTAaaaaaaaaaAATTTTT .,.,一对应的一对应的线性变换与矩阵是一线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下在给定一个基的条件下个线性变换个线性变换也可唯一地确定一也可唯一地确定一由一个矩阵由一个矩阵确定一个矩阵确定一个矩阵可唯一地可唯一地由线性变换由线性变换中取定一个基后中取定一个基后在在TAATVn.,121212121APPBBATVPVnnnnnn 那么那么和和的矩阵依次为的矩阵依次为在这两个基下在这两个基下中的线性变换中的
12、线性变换的过渡矩阵为的过渡矩阵为到基到基由基由基与与中取定两个基中取定两个基在线性空间在线性空间 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的,同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的,反之,相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不反之,相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵同基下的矩阵.,)(的秩的秩换换称为线性变称为线性变的维数的维数的象空间的象空间线性变换线性变换TVTTn).(,ARTTA的秩就是的秩就是则则的矩阵的矩阵是是若若.,rnSTrTT 的维数为的维数为的核的核则则的秩为的秩为若若一、线性空间的判定一、线性空间的判定二、子空间的判定二、子空间的判定三、求向量在给定基下的坐标三、求向
13、量在给定基下的坐标四、由基和过渡矩阵求另一组基四、由基和过渡矩阵求另一组基五、过渡矩阵的求法五、过渡矩阵的求法六、线性变换的判定六、线性变换的判定七、有关线性变换的证明七、有关线性变换的证明八、线性变换在给定基下的矩阵八、线性变换在给定基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵九、线性变换在不同基下的矩阵线性空间中两种运算的条运算规律缺一不线性空间中两种运算的条运算规律缺一不可,要证明一个集合是线性空间必须逐条验证可,要证明一个集合是线性空间必须逐条验证若要证明某个集合对于所定义的两种运算不若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间,只需说明在两个封闭性和条运构成线性空间,只需说明在两个封
14、闭性和条运算规律中有一条不满足即可算规律中有一条不满足即可,:.,:,aakRkRaabbaRbaRRRk 对任意对任意数量乘法数量乘法对任意对任意加法加法上定义了两种运算上定义了两种运算在在是实数集合是实数集合是全体正实数集合是全体正实数集合设设例1例1?性空间性空间上的线上的线数域数域对这两种运算是否构成对这两种运算是否构成判断判断RR 解解,1R , 0, 0 aakak. R,RlkRba 任取任取, 0, 0, 0 abbaba.Rba . 封闭的封闭的数量乘法运算是数量乘法运算是对于上述定义的加法和对于上述定义的加法和即即R .Rak ;)1(abbaabba );()()()()
15、()(2(cbabcabcacabcabcba ;1,11,1 )3(中的零元素中的零元素是是RaaaR ;1)( 111,1, 01, 0)4(aaaaaaRaaa的负元素是的负元素是零元零元即即 ;)(5(alakaaaaaalklklklk . 的线性空间的线性空间上上量乘法构成量乘法构成对上述定义的加法和数对上述定义的加法和数RR );()()()()(6(alkalaaaaklklkklkl );()()()()()()7(bkakbkakbaababkbakkkk .1 )8(1aaa ?),(0,21的的子子空空间间构构成成维维实实向向量量的的问问在在什什么么条条件件下下满满足足
16、阶阶实实对对称称矩矩阵阵为为设设RxxxXnXXAnAnnT 例例2 2解解 ,0 XXARXVTn令令.,VkXVX 则则若若显然显然,VO . V0)()()(2 XXAkkXAkXTT即即:的子空间的条件是的子空间的条件是构成构成故故RVn:的子空间的条件为的子空间的条件为构成构成因此因此RVn, 0)()(, YXAYXVYXT有有对任意的对任意的. 02 YXAYYAXYAYXAXXATTTTT即即. 0 , YXAVYXT都有都有对于任意的对于任意的.1,)1)(2( , 1, 122在该基下的坐标在该基下的坐标并求向量并求向量的一组基的一组基是是证明证明xxxRxxx 例3例3证
17、一证一.,3)1(22都构成它的一组基都构成它的一组基意三个线性无关的向量意三个线性无关的向量中任中任所以所以维线性空间维线性空间是是因为因为xRxR.)1)(2( , 1, 12xRxxx . 0)1)(2()1(1321 xxkxkk令令0)3(2 23332321 xkxkkkkk整理得整理得 , 0, 03, 02332321kkkkkk比较等式两边得比较等式两边得. 02100320211 D其系数行列式为其系数行列式为.)1()2(),1( , 1,)1)(2(),1(, 1, 0,2321的一组基的一组基是是所以所以线性无关线性无关于是于是即即故方程组只有零解故方程组只有零解xR
18、xxxxxxkkk ,),(1)2(321 2aaaxxT在给定基下的坐标为在给定基下的坐标为设设 ),1)(2()1(113212 xxaxaaxx则有则有,)3()2(123323212xaxaaaaaxx 整理得整理得 , 1, 13, 12332321aaaaaa比较系数比较系数 , 1, 4, 3321aaa解之得解之得).1)(2()1(431,)1 , 4 , 3( 122 xxxxxxxT即即在给定基下的坐标为在给定基下的坐标为所以所以证二证二且且又又的一组基的一组基是是已知已知,)1)(2(, 1, 1, 1)1(222xRxxxxRxx xxxxxxxx221)3(1223
19、)1)(2(11)1(111, 1)1)(2( , 1, 12线性表示线性表示可以由可以由即即xxxxx )1)(2(1)1(311)1(1112xxxxxx又又.)1)(2( , 1, 1,)1)(2( , 1, 1, 1.,)1)(2( , 1, 1, 1222的一组基的一组基是是从而从而也线性无关也线性无关因此因此无关无关线性线性而而故有相同的秩故有相同的秩所以两个向量组等价所以两个向量组等价线性表示线性表示可以由可以由即即xRxxxxxxxxxxxxx .11111 )2(22 xxxx中的线性表达式知中的线性表达式知由由标为标为下的坐下的坐在基在基设设)1(,)1)(2( , 1,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 习题 同济大学 线性代数 第六 ppt 课件
限制150内