中考数学经典压轴题大集合(二)(含解答).docx
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1、中考数学经典压轴题大集合(二)(含解答) 中考数学压轴题大集合(二)17.(2021浙江台州)如图,在平面直角坐标系内,C与y轴相切于D点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.(1)求点C的坐标; (2)连结BC并延长交C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得AB2BPBE,能否推出APBE?请给出你的结论,并说明理由; (3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2BQEQ?若存在,求出点Q的坐标; 若不存在,也请说明理由.解(1)C(5,-4); (2)能。连结AE,BE是O的直径,BAE=90.在ABE与PBA中,AB2BPBE,即,又ABE=PBA,ABEPBA.
2、BPA=BAE=90,即APBE.(3)分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2BQEQ.Q点位置有三种情况: 若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q; 若无两条等长,且点Q在线段EB上,由RtEBA中的射影定理知点Q即为AQEB之垂足; 若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切C于点A.设Q(),并过点Q作QRx轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.解题过程: 当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E,显然有AQ12BQ1EQ1,Q1(5,-4)符合题意; 当Q2点在线段EB上,ABE中,BAE=9
3、0点Q2为AQ2在BE上的垂足,AQ2=4.8(或).Q2点的横坐标是2+AQ2BAQ2=2+3.84=5.84,又由AQ2BAQ2=2.88,点Q2(5.84,-2.88),方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的C的切线与直线BE在第一象限的交点.由RtQ3BRRtEBA,EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t,由RtARQ3RtEAB得,即得t=,注:此处也可由列得方程; 或由AQ32=Q3BQ3E=Q3R2+AR2列得方程)等等Q3点的横坐标为8+3t=,Q3点的纵坐标为,即Q3(,).方法二:如上所设与添辅助线,直线BE
4、过B(8,0),C(5,-4),直线BE的解析式是.设Q3(,),过点Q3作Q3Rx轴于点R,易证Q3AR=AEB得RtAQ3RRtEAB,即,t=,进而点Q3的纵坐标为,Q3(,).方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,Q3AB=Q3EA,,在RtOAF中有OF=2=,点F的坐标为(0,),可得直线AF的解析式为,又直线BE的解析式是,可得交点Q3(,).18.(2021上海长宁)如图1,抛物线关于y轴对称,顶点C坐标为(0,h)(h0),交x轴于点A(d,0)、B(-d,0)(d0)。 (1)求抛物线解析式(用h、d表示); (2)如图2,将ABC视为抛物线形拱
5、桥,拉杆均垂直x轴,垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。 (i)求拉杆DE的长度; FGxyCBOA图4(ii)若d值增大,其他都不变,如图3。拉杆DE的长度会改变吗?(只需写结论)(3)如图4,点G在线段OA上,OG=kd(比例系数k是常数,0k1),GFx轴交抛物线于点F。试探索k为何值时,tgFOG=tgCAO?此时点G与OA线段有什么关系?解(1)用顶点式,据题意设y=ax2+h代入A(d,0)得a=y=x2+h(2)(i)h=9,代入(1)中解析式得y=x2+9据题意OE=d,设D(d,yD)点D在抛物线上,yD=(d)2+9=5,DE=5米。 (ii)拉杆DE的长度不变。 (
6、3)OG=kd,点F坐标可设(kd,yF)代入y=x2+h,得: yF=h(1k2)tgFOG=tgCAO,=解得(0c,且二次函数的图像经过点(p,-2),求证:b0; (3)若a+b+c=0,abc,且二次函数的图像经过点(q,-a),试问当自变量x=q+4时,二次函数所对应的函数值y是否大于0?请证明你的结论.解(1)当a=2,c=-3时,二次函数为,该函数的图像经过点(-1,-2),解得b=1.(2)当a=2,b+c=-2时,二次函数为该函数的图像经过点(p,-2),即于是,p为方程的根,判别式=又b+c=-2,bc,b-b-2,即b-1,有b+80.(3)二次函数的图像经过点(q,-
7、a),.q为方程的根,于是,判别式=又=又,且abc,知a0,c0q为方程的根,或.当时,若,则.ab0,即,若,则.当时,二次函数所对应的函数值大于0.5.(2021江苏盐城)已知:如图,A(0,1)是y轴上一定点,B是x轴上一动点,以AB为边,在OAB的外部作BAEOAB,过B作BCAB,交AE于点C.(1)当B点的横坐标为时,求线段AC的长; (2)当点B在x轴上运动时,设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时,点C也与O点重合); (3)设过点P(0,-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1,y1)、M2(x2,y2),且x12+x
8、226(x1+x2)=8,求直线l的解析式解(1)方法一:在RtAOB中,可求得AByAOBxCDGHOABBAC,AOBABC=Rt,ABOABC,由此可求得:AC方法二:由题意知:tanOAB=(2)方法一:当B不与O重合时,延长CB交y轴于点D,过C作CHx轴,交x轴于点H,则可证得ACAD,BDAOOB,ABBD,ABOBDO,则OB2AOOD,即化简得:y=,当O、B、C三点重合时,y=x=0,y与x的函数关系式为:y=方法二:过点C作CGx轴,交AB的延长线于点H,则AC2(1y)2+x2=(1+y)2,化简即可得。 (3)设直线的解析式为y=kx+b,则由题意可得:,消去y得:x
9、2-4kx-4b=0,则有,由题设知: x12+x22-6(x1+x2)=8,即(4k)2+8b-24k=8,且b=-1,则16k2-24k-16=0,解之得:k1=2,k2=,当k1=2、b=-1时,16k2+16b=64-160,符合题意; 当k2=,b=-1时,16k2+16b=4-160,不合题意(舍去),所求的直线l的解析式为:y=2x-16.(2021广东广州)已知抛物线y=x2+mx-2m2(m0)(1)求证:该抛物线与x轴有两个不同的交点; (2)过点P(0,n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边),是否存在实数m、n,使得AP=2PB?若存在,则求出m、n满
10、足的条件; 若不存在,请说明理由解(1)该抛物线与轴有两个不同的交点。 (2)由题意易知点、的坐标满足方程: ,即由于方程有两个不相等的实数根,因此,即.由求根公式可知两根为: ,分两种情况讨论: 第一种:点在点左边,点在点的右边.由式可解得.第二种:点、都在点左边.由式可解得.综合可知,满足条件的点存在,此时、应满足条件: ,或。 三、动态几何型压轴题1.(2021天津)已知:在RtABC中,B90,BC4cm,AB8cm,D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点若P为AB边上的一个动点,PQBC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的
11、公共部分的面积为y(1)如图,当AP3cm时,求y的值; (2)设APxcm,试用含x的代表式表示y(cm)2; (3)当y2cm2时,试确定点P的位置解(1)PQBC,BC4,AB8,AP3,PQD为AB的中点,ADAB4,PDADAP1PQMN为正方形,DNPNPDPQPD,yMNDNcm2(2)APx,ANx当ox时,y0; 当x4时,; 当4x时,yx; 当x8时,y2(8x)2x16(3)将y2代入y2x16(x8)时,得x7,即P点距A点7cm; 将y2代入时,得,即P点距A点cm2.(2021上海)操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上
12、滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q图5图6图7探究:设A、P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到结论; (2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当点P在线段AC上滑动时,PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值; 如果不可能,试说明理由(图5、图6、图7的形状大小相同,图5供操作、实验用,图6和图7备用)解图1图2图3(1)解:PQPB证明如下:过点P作MNBC,分别交AB于点M,
13、交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,AMP和CNP都是等腰直角三角形(如图1)NPNCMBBPQ90,QPNBPM90而BPMPBM90,QPNPBM又QNPPMB90,QNPPMBPQPB(2)解法一由(1)QNPPMB得NQMPAPx,AMMPNQDN,BMPNCN1,CQCDDQ121得SPBCBCBM1(1)xSPCQCQPN(1)(1)x2S四边形PBCQSPBCSPCQx21即yx21(0x)解法二作PTBC,T为垂足(如图2),那么四边形PTCN为正方形PTCBPN又PNQPTB90,PBPQ,PBTPQNS四边形PBCQS四边形PBTS四边形PTCQS四边
14、形PTCQSPQNS正方形PTCNCN2(1)2x21yx21(0x)(3)PCQ可能成为等腰三角形当点P与点A重合,点Q与点D重合,这时PQQC,PCQ是等腰三角形,此时x0当点Q在边DC的延长线上,且CPCQ时,PCQ是等腰三角形(如图3)解法一:此时,QNPM,CPx,CNCP1CQQNCN(1)1当x1时,得x1解法二:此时CPQPCN22.5,APB9022.567.5,ABP180(4567.5)67.5,得APBABP,APAB1,x1ONPQMCC1B1A1AB图13.(2021河北课改)如图1和2,在2020的等距网格(每格的宽和高均是1个单位长)中,RtABC从点A与点M重
15、合的位置开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移,当BC边与网的底部重合时,继续同样的速度向右平移,当点C与点P重合时,RtABC停止移动.设运动时间为x秒,QAC的面积为y.(1)如图1,当RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时,请你在网格中画出RtA1B1C1关于直线QN成轴对称的图形; (2)如图2,在RtABC向下平移的过程中,请你求出y与ONPQMCAB图2x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少?(3)在RtABC向右平移的过程中,请你说明当x取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最值分别是多少?为什么?解(1)如图1,A2B2C
16、2是A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形.2分ONPQMCABCAB图2ONPQMC1C2B1A1A2B2图1(2)当ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时(如图2),则有: MA=x,MB=x+4,MQ=20,y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC=2x+40(0x16).由一次函数的性质可知: 当x=0时,y取得最小值,且y最小=40; 当x=16时,y取得最大值,且y最大=216+40=72.(3)解法一: 当ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,此时16x32,PB=20-(x-16)=36-x,PC=PB-4=32-x,y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC=-2x+10
17、4(16x32).由一次函数的性质可知: 当x=32时,y取得最小值,且y最小=-232+104=40; 当x=16时,y取得最大值,且y最大=-216+104=72.解法二: 在ABC自左向右平移的过程中,QAC在每一时刻的位置都对应着(2)中QAC某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.因此,根据轴对称的性质,只需考察ABC在自上至下平移过程中QAC面积的变化情况,便可以知道ABC在自左向右平移过程中QAC面积的变化情况.当x=16时,y取得最大值,且y最大=72; 当x=32时,y取得最小值,且y最小=40.4.(2021山东枣庄)如图,在ABC中,AB17,AC5,C
18、AB45,点O在BA上移动,以O为圆心作O,使O与边BC相切,切点为D,设O的半径为x,四边形AODC的面积为yABODC(1)求y与x的函数关系式; (2)求x的取值范围; (3)当x为何值时,O与BC、AC都相切?解(1)如图,过点C作CEAB,垂足为E在RtACE中,AC=5,CAB=45,AE=CE=ACsin45=BE=ABAE=175=12,tanB=CB切O于点D,ODBC又=tanB=,BD=S四边形AODC=SABCSBOD,ABCDEFOABCDOG(2)过点C作CFCB交AB于F在RtBCF中,CF=BCtanB=13x的取值范围是0x(3)当O与BC、AC都相切时,设O
19、与AC的切点为G,连结OG、OC(如图),则OG=OD=xSAOC+SBOC=SABC,5.(2021浙江宁波)已知是半圆的直径,AB16,P点是AB上的一动点(不与A、B重合),PQAB,垂足为P,交半圆O于Q; PB是半圆O1的直径,O2与半圆O、半圆O1及PQ都相切,切点分别为M、N、C(1)当P点与O点重合时(如图1),求O2的半径r; 图图AO(P)NO2O1MCQBPAONO2O1MCQB(2)当P点在AB上移动时(如图2),设PQx,O2的半径r求R与x的函数关系式,并求出r取值范围解(1)连结OO2、O1O2、O2C,作O2DAB于DO2与O、O1、PQ相切,OO28r,O1O
20、24r四边形ODO2C是矩形,ODr,O1D4r根据勾股定理得:,即:,r2(2)AB是O直径,PQABPQ2APPB设O1半径是a,则x22a(162a)4(8aa2)连结OO2、O1O2、O2C,作O2DAB于D,根据勾股定理得:,即:,化简得:,即为0x8,0r8AQB图O(P)NO2O1MCBD图PAONO2O1MCQD6.(2021河北)如图12,在直角梯形ABCD中,ADBC,C90,BC16,DC12,AD21。动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动
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