2022年曲线的参数方程 .pdf
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1、1 曲线的参数方程教学目标:1通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。2分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。3会进行参数方程和普通方程的互化。教学重点: 根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。教学难点:根据几何性质选取恰当的参数, 建立曲线的参数方程。 参数方程和普通方程的等价互化。教学过程一参数方程的概念1探究:如图,一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以 100m/s的速度作水平直线飞行,为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?(1
2、)平抛运动:为参数)tgtytx(215001002一、方程组有 3 个变量,其中的 x,y 表示点的坐标,变量t 叫做参变量,而且x,y 分别是 t 的函数。二、由物理知识可知,物体的位置由时间t 唯一决定,从数学角度看,这就是点M 的坐标 x,y 由 t唯一确定,这样当t 在允许值范围内连续变化时,x,y 的值也随之连续地变化,于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。练习:斜抛运动:为参数)tgttvytvx(21sincos2002参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数
3、 t 的函数x y O v=v0)2.(.)()(tgytfx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 2 并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。说明: (1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。(2)参数是联系变量x,y 的
4、桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。例 1已知曲线 C 的参数方程是1232tytx(t 为参数 ) (1)判断点 M1(0,1),M2(5,4)与曲线 C 的位置关系;(2)已知点 M3(6,a)在曲线 C 上,求 a 的值。A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线二圆的参数方程)(sincos为参数ttrytrx)(sincos为参数ryrxx y OrMM0 x )0 , 1()21,21()21,31()7, 2()(2cossin2DCBAyx,、,、,、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程轨迹是所表示的一族圆的圆心为参数、由方程)(045243222tttytxyx
5、)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方,半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有:,那么由三,设,那么,坐标是转过的角度是,点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt转过的角度。的位置时,到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程,半径为这也是圆心在原点为参数为参数,于是有,也可以取考虑到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2
6、页,共 14 页 - - - - - - - - - 3 圆的参数方程的一般形式说明:(1)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。(2)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。三参数方程和普通方程的互化例 1、已知圆方程 x2+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参数方程。解: x2+y2+2x-6y+9=0 化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1,参数方程为(为参数 ) 例 2 如图,圆 O 的半径为 2,P 是圆上的动点, Q(6,0)是 x 轴上的定点, M 是 PQ 的中点,当点P 绕 O 作匀速圆周运动时,求点M 的轨迹的参数方程。明确参数
7、方程和普通方程的互化的方法。注意,在参数方程和普通方程的互化中,必须使 x,y的取值范围保持一致。四课堂练习巩固与提高1与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是( D)A22tytxBtytxcscsinCtytx1Dtytxcottan么样的呢?的圆的参数方程又是怎半径为那么,圆心在点普通方程是的参数方程,它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数。半径,并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin235cos22yxsin3cos1yx)(sin3co
8、ssin2sin2, 3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以,点由中点坐标公式得:的坐标是则点,的坐标是解:设点yxMyxPxOPyxM) 1 , 2_(4)0(sin2cos3,则圆心坐标是是的直径为参数,、圆rrryrrx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 4 2下列哪个点在曲线)(2cossin为参数yx上(C)A(2,7) B)32,31(C)21,21(D(1,0
9、) 3曲线)(sin2cos12为参数yx的轨迹是( D)A一条直线B一条射线C一个圆D一条线段4方程)(cos2为参数yx表示的曲线是( D)A余弦曲线B与 x 轴平行的线段C直线D与 y 轴平行的线段5曲线)(sincos为参数yx上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)A21B22C1 D26方程04524222ttytxyx(t 为参数 )所表示的一族圆的圆心轨迹是(D)A一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线7直线)(sincos为参数tytx与圆)(sin2cos24为参数yx相切,那么直线的倾斜角为(A)A6或65B4或43C3或32D6或658曲线yyx222的一个参数方程
10、为)(sin1cos为参数yx。9曲线)(11为参数tttyttx的普通方程为422yx。10已知)(sincos2为参数yx,则22)4()5(yx的最大值是 6。11设飞机以匀速v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度h=588m 处投弹(设投弹的初速度等于飞机的速度,且不计空气阻力) 。(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程;(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标。解: (1))(9.45881502为参数ttytx。(2)1643m。12火炮以为发射角,0v为初速度发射,求炮弹的轨迹方程。解:)(21sincos200为参数tgttyytvx。13动点 M 从起点 M0(
11、1,2)出发作等速直线运动,它在x 轴与 y 轴方向上的分速度分别为6 和 8,求点 M 的轨迹的参数方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 5 解:)(8261为时间参数ttytx。14求直线为参数)ttytx(11与圆422yx的交点坐标。解:把直线的参数方程代入圆的方程,得(1+t)2+(1-t)2=4,得 t=1,分别代入直线方程 ,得交点为(0,2)和( 2,0) 。圆的参数方程的应用教学目标 :知识与
12、技能 :利用圆的几何性质求最值(数形结合)过程与方法 :能选取适当的参数,求圆的参数方程教学重点 :会用圆的参数方程求最值。教学难点 :选择圆的参数方程求最值问题. 教学过程 :一、最值问题1. 已知 P(x,y )圆 C :x2+y26x4y+12=0上的点。(1)求xy的最小值与最大值(2)求 xy 的最大值与最小值2. 圆 x2+y2=1上的点到直线 3x+4y-25=0 的距离最小值是;2/. 圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线 2x-y+1=0 的最短距离是 _;3. 过点(2,1) 的直线中 , 被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦:为最长的直线方程是 _;为最短的
13、直线方程是 _ ;4若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值为;二、参数法求轨迹1)一动点在圆 x2y2=1上移动 , 求它与定点 (3,0) 连线的中点的轨迹方程2)已知点 A(2,0),P是 x2+y2=1上任一点 ,AOP的平分线交 PA于 Q点, 求 Q点的轨迹 . C.参数法解题思想:将要求点的坐标x,y 分别用同一个参数来表示例题: 1) 点 P(m,n) 在圆 x2+y2=1上运动 , 求点 Q(m+n,2mn) 的轨迹方程2) 方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆 ,求 m 的取值范围和圆心的
14、轨迹方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 6 圆锥曲线的参数方程教学目的 :知识与技能 :了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法 :能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观 :通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。教学重点 :圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点 :选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型 :新授课教学模式 :启发、诱导发现教学 . 教学过程 :一、复习引入:
15、1写出圆方程的标准式和对应的参数方程。(1)圆222ryx参数方程sincosryrx(为参数)(2)圆22020)()(ryyxx参数方程为:sincos00ryyrxx(为参数)2写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗?二、讲解新课:1.椭圆的推导:椭圆12222byax参数方程s i nc o sbyax(为参数)2.双曲线的参数方程:双曲线12222byax参数方程t a ns ecbyax(为参数)3.抛物线的参数方程:抛物线Pxy22参数方程PtyPtx222(t 为参数)1、关于参数几点说明:(1) 参数方程中参数可以是有物理意义,
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