2022版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第5节第2课时直线与椭圆学案含解析.doc
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1、第2课时直线与椭圆 考点一直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程(3)当0时,直线与椭圆相交;当0时,直线与椭圆相切;当0时,直线与椭圆相离1若直线ykx1与椭圆1总有公共点,则m的取值范围是()Am1Bm0C0m5且m1Dm1且m5D直线ykx1恒过定点(0,1),要使直线ykx1与椭圆1总有公共点,只需1,即m1,又m5,故m的取值范围为m1且m5,故选D.2已知直线l:y2xm,椭圆C:1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点解将直线l的方
2、程与椭圆C的方程联立,得方程组将代入,整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0,即3m3时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0,即m3时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0,即m3或m3时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点点评:(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数; (2)对于过定点的直
3、线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 考点二弦长及中点弦问题 1弦长问题常用“根与系数的关系”设而不求,利用弦长公式|AB|,(A(x1,y1),B(x2,y2),k为直线的斜率)计算弦长2中点弦问题常用“点差法”,即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1x2,y1y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率弦长问题典例11已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,F是椭圆C的一个焦点点M(0,2),直线MF的斜率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为N,且|AB|MN|
4、,求l的方程解(1)由题意,可得解得则b2a2c22,故椭圆C的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|2,|MN|2,|AB|MN|,不合题意,故直线l的斜率存在设直线l的方程为ykx2,联立得(14k2)x216kx80.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,(16k)232(14k2)128k2320,即k2.设N(x0,y0),则x0,因为|AB|MN|,所以|x1x2|x00|,则|x0|,即,整理得k2.故k,所以直线l的方程为yx2.点评:涉及弦长问题在求解时务必注意两点,一是所设直线方程其斜率是否存在二是保证直线与椭圆相交,即消元后对应方程其判别式
5、0.中点弦问题 典例12(1)已知直线xy10与椭圆C:1(ab0)交于A,B两点,且线段AB中点为M,若直线OM(O为坐标原点)的倾斜角为150,则椭圆C的离心率为()AB CD(2)若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为_(1)D(2)1(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0)1,1,两式相减可得0,把x1x22x0,y1y22y0,k,tan 150,代入可得,解得.e.故选D.(2)法一:(直接法)椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),设椭圆方程为1(b0),由 消去x,得(10b
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