2022年初二下期末几何压轴题及解析 .pdf
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1、初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD 的边 AB 、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和 ADE ,连接 EB 、FD,交点为G(1)当四边形ABCD 为正方形时(如图1) ,EB和 FD的数量关系是 _;(2)当四边形ABCD 为矩形时(如图2) ,EB和 FD具有怎样的数量关系?请加以证明;(3)四边形 ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中,EGD 是否发生变化?如果改变,请说明理由;如果不变,请在图3 中求出 EGD的度数难度一般:证全等即可(第三问,图1 中就能看出是45。 )解 (1) EB=FD 。 (2)EB=FD 。证: AFB为等边三角形, AF=AB
2、, FAB=60 ADE为等边三角形,AD=AE , EAD=60 , FAB+BAD= EAD+ BAD 即 FAD= BAE, FAD BAE,EB=FD ( 3)解: ADE为等边三角形,AED= EDA=60 FAD BAE , AEB= ADF 设 AEB为 x,则 ADF也为 x于是有 BED为( 60-x ), EDF为( 60+x) EGD=180 - BED-EDF =180- ( 60-x ) - (60+x) =602、已知:如图,在ABCD 中,点 E 是 BC 的中点,连接 AE 并延长交DC 的延长线于点F,连接 BF(1)求证: ABE FCE;(2)若 AF=A
3、D,求证:四边形ABFC 是矩形简单题证明: (1)如图 1在 ABE 和 FCE 中, 1=2, 3=4,BE=CE, ABE FCE(2) ABE FCE, AB=FCABFC,四边形ABFC 是平行四边形四边形ABCD 是平行四边形,AD=BCAF=AD, AF=BC四边形ABFC 是矩形FABCDE图 1 4321EDCBAF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页3、已知: ABC 是一张等腰直角三角形纸板,B=90 ,AB=BC=1(1)要在这张纸板上剪出一个正方形,使这个正方形的四个顶点都在ABC 的边上小
4、林设计出了一种剪法,如图1 所示请你再设计出一种不同于图1 的剪法,并在图2 中画出来(2)若按照小林设计的图1 所示的剪法来进行裁剪,记图1 为第一次裁剪,得到1 个正方形,将它的面积记为1S,则1S=_;余下的2 个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪(如图3) ,得到 2 个新的正方形,将此次所得2 个正方形的面积的和记为2S,则2S=_;在余下的4 个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪(如图4) ,得到 4 个新的正方形,将此次所得4 个正方形的面积的和记为3S;按照同样的方法继续操作下去,第n次裁剪得到 _个新的正方形,它们的面积的和nS=_ (题外题:把你剪出的正方
5、形的面积与图1 中的正方形面积进行比较。)本题相当于中考12 题的简单题解: (1)如图 2;-1 分(2)14,18,12n,112n-6 分4、已知:如图,平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD 的边长为4,它的顶点A 在x轴的正半轴上运动,顶点 D 在y轴的正半轴上运动(点A,D 都不与原点重合) ,顶点 B, C 都在第一象限,且对角线AC,BD相交于点P,连接 OP(1)当 OA=OD 时,点 D 的坐标为 _,POA=_ ;(2)当 OAOD 时,求证: OP 平分 DOA;(3)设点 P 到 y 轴的距离为d,则在点 A,D 运动的过程中,d的取值范围是 _(第二问:如果点P 到
6、 OP“所平分的角”的两边的距离相等,即可。) (第二问的题外题:当OAOD 时,求证: OP 平分 DOA; )图 1 EFABCD图 2 ABC图 3 CBAFED图 4 ABCFED图 2 CBAABCDPOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页解: (1) (0,22),45;证明: (2)过点 P 作 PMx轴于点 M,PNy轴于点 N (如图 3)四边形ABCD 是正方形,PD=PA, DPA=90 PMx轴于点 M,PNy轴于点 N, PMO=PNO=PND=90 NOM =90 ,四边形NOMP 中
7、, NPM=90 DPA=NPM 1=DPA NPA, 2=NPM NPA, 1=2在 DPN 和 APM 中,PND =PMA, 1=2,PD=PA, DPN APMPN=PMOP 平分 DOA(3)2d2 2- 5、已知:如图,平面直角坐标系xOy中,矩形OABC 的顶点 A,C 的坐标分别为(4,0) , (0,3) 将 OCA 沿直线 CA 翻折,得到DCA,且 DA 交 CB 于点 E(1)求证: EC=EA;(2)求点 E 的坐标;(3)连接 DB,请直接写出四边形 DCAB 的周长和面积(第二问,有坐标,用代数法勾股定理可得CE=AE 的长)(第三问的证明:过D 做 DM AC
8、于 M ,过 B 做 BNCA 于 N,则由相似可得,DM=BN= 梯形的高(能求出具体数) , CM=AN (具体数)还看得DB=MN (具体数)这样即可求出周长,有可求出面积。)证明: (1)如图 1 OCA 沿直线 CA 翻折得到 DCA, OCA DCA 1=2四边形OABC 是矩形, OA CB 1=3 2=3 EC=EA解: ( 2)设 CE= AE=x点 A,C 的坐标分别为(4,0) , (0,3) , OA=4,OC=3四边形OABC 是矩形, CB=OA=4,AB=OC=3, B=90 在 RtEBA 中,222EAEBBA,222(4)3xx解得258x点 E 的坐标为
9、(25,38)(3)625,192256、已知: ABC 的两条高BD,CE 交于点 F,点 M,N 分别是 AF, BC 的中点,连接ED,MN(1)在图 1 中证明 MN 垂直平分ED ;(2)若 EBD=DCE =45 (如图 2) ,判断以M,E,N,D 为顶点的四边形的形状,并证明你的结论图 3 12MNyxOPDCBANMABCDEFNMFEDCBA图 2 EBADCyxO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页第一问,连接EM ,EN ,DM ,DN,利用三角形斜边中线等于斜边一半得,ME=MD ,NE=N
10、D ,所以点M 、N 都在线段ED 的垂直平分线上。(有 ADF BDC ,得 AF=BC , (还得 MDA= NDB,证直角时用) ,进而得菱形,再证一直角得正方形, )(1)证明:连接EM,EN,DM,DN (如图 2)BD,CE 是 ABC 的高,BDAC,CEAB BDA=BDC=CEB=CEA=90 在 RtAEF 中, M 是 AF 的中点, EM=12AF同理, DM =12AF,EN=12BC,DN=12BCEM=DM ,EN=DN点 M,N 在 ED 的垂直平分线上MN 垂直平分ED(2)判断:四边形MEND 是正方形证明:连接EM, EN,DM,DN (如图 3) EBD
11、=DCE=45 ,而 BDA=CDF =90 , BAD=ABD=45 , DFC=DCF =45 AD=BD,DF=DC在 ADF 和 BDC 中,AD=BD,ADF =BDC , (Rt )DF =DC, ADF BDC AF=BC, 1=2由( 1)知 DM=12AF=AM,DN=12BC=BN,DM=DN, 1=3, 2=4 3= 4由( 1)知 EM=DM ,EN=DN, DM=DN=EM=EN四边形MEND 是菱形 3+MDF =ADF=90 , 4+MDF = NDM=90 四边形MEND 是正方形7、 (6 分)如图,现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD ,点 P 为 AD
12、边上的一点(不与点A、点 D 重合) ,将正方形纸片折叠,使点B 落在 P 处,点 C 落在 G 处, PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,联结 BP、BH 。(1)求证: APB BPH;(2)求证: APHCPH;(3)当 AP1 时,求 PH 的长。4312ABCDEFMN图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页第一问,设EPB= EBP=m ,则 BPH=90 -m, PBC=90 -m,所以 BPH= PBC,又因为 APB=PBC,所以, APB=BPH 。第二问的题外题:将此题与北京141 之东城
13、 22 和平谷 24 放在一起, 旋转翻折共同学习;此题中用旋转把ABP 绕点 B 顺时针旋转90不能到达目的,于是延BP 翻折,翻折后的剩余部分BQH 与 BCH 也可全等,即可到达目的,还有意外收获:证得PBH=45 。第三问,代数方法的勾股定理。(1)证明: PEBE, EPB EBP,又 EPH EBC90, EPH EPB EBC EBP。即 BPH PBC。又四边形ABCD 为正方形, AD BC, APB PBC。 APB BPH。 (2 分)(2)证明:过B 作 BQPH,垂足为Q,由( 1)知, APB BPH,又 A BQP90, BPBP, ABPQBP, APQP,BA
14、BQ。又 ABBC, BCBQ。又 C BQH 90, BHBH , BCHBQH , CH QH, APHCPH。 (4 分)(3)由( 2)知, APPQ1, PD3。设 QHHCx,则 DHx4。在 RtPDH 中,222PHDHPD,即222431xx,解得4. 2x, PH 3.4(6 分)8、 (6 分)如图,在ABC 中, AC AB ,D 点在 AC 上, AB CD, E、F 分别是BC、AD 的中点,连结EF 并延长,与BA 的延长线交于点G,若 EFC60,联结 GD,判断 AGD 的形状并证明。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
15、- - - -第 5 页,共 22 页(也可问 ADG 的度数。)判断: AGD 是直角三角形。证明:如图联结BD ,取 BD 的中点 H,联结 HF、HE,F 是 AD 的中点,ABHFABHF21,/, 1 3。同理, HE/CD ,HECD21, 2 EFC。AB CD,HFHE, 1 2, 3 EFC。 EFC 60, 3 EFC AFG60, AGF 是等边三角形。AF FG AFFD,GFFD, FGD FDG30, AGD 90,即 AGD 是( 特殊 )直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页
16、(GE=BG-BE ,GH 是直角三角形的斜边,这样证全等。)10、阅读下列材料:小明遇到一个问题:AD是 ABC的中线,点 M为 BC边上任意一点(不与点D重合) ,过点 M作一直线,使其等分 ABC的面积他的做法是:如图1,连结 AM ,过点 D作 DN/AM交 AC于点 N,作直线MN ,直线 MN 即为所求直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页请你参考小明的做法,解决下列问题:(1)如图 2,在四边形ABCD中, AE平分 ABCD的面积, M为 CD边上一点,过M作一直线MN ,使其等分四边形 ABCD
17、的面积(要求:在图2 中画出直线MN ,并保留作图痕迹) ;(2)如图 3,求作过点A的直线 AE ,使其等分四边形ABCD 的面积(要求:在图3 中画出直线AE ,并保留作图痕迹)(第二问,把ABC的面积接到DC的延长线上。 )11、 已知:四边形ABCD是正方形,点E在 CD边上,点 F 在 AD边上,且AFDE(1)如图 1,判断 AE与 BF有怎样的位置关系?写出你的结果,并加以证明;(2)如图 2,对角线AC与 BD交于点 O BD、AC分别与 AE 、BF交于点 G,点 H求证: OG OH ;连接 OP ,若 AP 4,OP 2 ,求 AB的长【第二问,证AOG BHO ,第二问
18、,(在 OB上截取 BQ=AP ,则 APO BQO ,得 OP=OQ ,AP=BQ ,也可得 OPG= OQP ,又 EPB=90 ,最终得 OPQ 是等腰直角三角形, 可得 PQ=2 , 从而求得PB=6 , 在 RtAPB中由勾股定理得的值。 2 倍根号 13. ) 】12、已知:如图,梯形ABCD 中, ADBC, B=90 ,AD=a,BC=b,DC=ba,且ab,点 M 是 AB 边的中点(1)求证: CMDM ;(2)求点 M 到 CD 边的距离(用含a,b的式子表示)D 图 1 M B A N C 图 3 图 2 M EDCBADCBAA B C D E F P 图 1 A B
19、 C D O P E F 图 2 G H ABCDM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页(我认为答案的思路不是最好。本题还有这样的思路:过M 做 BC 的平行线,交DC 于 Q,则可证MQ=DQ=CQ , MD 平分 ADC ,MC平分 BCD, 及 DMC=90 , ; M 到 CD 的距离也就是RtDMC 斜边的高 MN , MN 的平方 =DN 乘以 NC=AD乘以 BC=ab, )证明: ( 1)延长 DM ,CB 交于点 E (如图 3)梯形 ABCD 中, ADBC, ADM =BEM点 M 是 AB 边
20、的中点,AM=BM在 ADM 与 BEM 中,ADM =BEM,AMD =BME,AM=BM, ADM BEMAD=BE=a,DM=EM CE=CB+BE=baCD=ab, CE=CD CMDM 解: (2)分别作MNDC,DF BC,垂足分别为点N,F (如图 4)CE=CD,DM =EM, CM 平分 ECD ABC= 90,即 MBBC,MN=MBADBC, ABC=90, A=90 DFB =90,四边形ABFD 为矩形BF= AD=a,AB= DFFC= BCBF =baRtDFC 中, DFC =90,222DFDCFC =22()()abba=4ab DF= 2 ab MN=MB
21、 =12AB=12DF =ab 即点 M 到 CD 边的距离为ab13、已知:如图 1,平面直角坐标系xOy中,四边形 OABC 是矩形, 点 A,C 的坐标分别为 (6,0) , (0,2) 点D 是线段 BC 上的一个动点 (点 D 与点 B, C 不重合), 过点 D 作直线y12xb交折线 OAB 于点 E(1)在点 D 运动的过程中,若ODE 的面积为 S,求 S与b的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)如图 2,当点 E 在线段 OA 上时,矩形 OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O ABC,CB 分别交 CB,OA 于点 D,M,O A分别交 CB,OA 于点 N,E
22、探究四边形DMEN 各边之间的数量关系,并对你的结论加以证明;(3)问题( 2) 中的四边形DMEN 中, ME 的长为 _图 1 yxOABC图 2 EDCBAOxyOCBAMNFNECBMDA图 4 EADMBC图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页本题难度对于初二学生相当于25 题。【好好学习第一问的解题方法,第二问由两组平行可得平行四边形,OED= O1ED(对称性质) ,得菱形。第三问,E 在 OA 上时,DE 的长度不变, 为 2 倍根号 5,(延 x 轴平移 DME 使 D 与 C 重合,设 DM
23、=EM=x ,代数法用勾股定理可求得ME 的值。】解: (1)矩形OABC 中,点 A,C 的坐标分别为(6,0),(0,2),点 B 的坐标为(6, 2)若直线bxy21经过点 C(0, 2),则2b;若直线bxy21经过点 A(6,0),则3b;若直线bxy21经过点 B(6, 2),则5b当点 E 在线段 OA 上时,即32b时, (如图 6)点 E 在直线bxy21上,当0y时,bx2,点 E 的坐标 为)0,2( bSbb22221当点 E 在线段 BA 上时,即53b时, (如图 7)点 D,E 在直线bxy21上,当2y时,42bx;当6x时,3by,点 D 的坐标为)2,42(
24、 b,点 E 的坐标为)3, 6(bDBEOAECODOABCSSSSS矩形)3(2)42(6216)3(212)42(2126bbbbbb52综上可得:2223),535).bbSbbb((2)DM =ME=EN=ND证明:如图8四边形OABC 和四边形O ABC是矩形,CBOA, CBOA,即 DN ME,DMNE四边形DMEN 是平行四边形,且NDE=DEM矩形 OABC 关于直线DE 对称的图形为矩形O ABC, DEM =DEN NDE =DEN ND=NE四边形DMEN 是菱形DM=ME=EN=ND- (3)答:问题( 2)中的四边形DMEN 中, ME 的长为2. 5 图 6 y
25、xOABCDEEDCBAOxy图 7 图 8 EDCBAOxyOCBAMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页14、探究问题 1 已知: 如图 1,三角形 ABC 中,点 D 是 AB 边的中点, AEBC,BFAC,垂足分别为点E,F,AE,BF 交于点 M,连接 DE,DF若 DE=kDF,则k的值为 _图 1CFMEBDA图 2CEMFADB图 3CEMFADB拓展问题 2 已知:如图2,三角形ABC 中, CB=CA,点 D 是 AB 边的中点,点M 在三角形ABC 的内部,且 MAC=MBC,过点 M 分
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