2022年函数的单调性与最值 .pdf
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1、精品资料欢迎下载函数的单调性与最值一、知识梳理1增函数、减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间 D? I,如果对于任意x1,x2D,且 x1x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数 ? f(x1)f(x2)2单调区间的定义若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做 y f(x)的单调区间3函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足条件对于任意xI,都有f(x) M;存在x0I,使得f(x0)M对于任意xI,都有 f(x) M;存在 x0I,使得 f(x0)M结论M 为最大值M 为最
2、小值注意:1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号 “ ” 联结,也不能用“ 或” 联结2两函数f(x),g(x)在 x(a,b)上都是增 (减)函数,则f(x)g(x)也为增 (减)函数,但f(x) g(x),1fx等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比试一试 1下列函数中,在区间(0, ) 上为增函数的是() Ayln( x2)Byx1 C12xyDy x1x解析: 选 A选项 A 的函数 yln( x2)的增区间为 ( 2,) ,所以在 (0,) 上一定是增函数2函数 f(x)
3、 x22x(x2,4)的单调增区间为_;f(x)max_. 解析:函数f(x)的对称轴x1,单调增区间为1,4 ,f(x)maxf(2)f(4)8. 答案: 1,48 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精品资料欢迎下载二、方法归纳1判断函数单调性的四种方法(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论;(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数;(3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单
4、调性2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值(2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“ 一正二定三相等” 的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域练一练 1下列函数中,既是偶函数又在区间(0, ) 上单调递减的是() Ay1xByexCy x21 D. ylg|x| 答案: C 2函数 f(x)1x21
5、在区间 2,3上的最大值是_,最小值是 _答案:15110三、考点精练考点一求函数的单调区间1、函数5log21fxx的单调增区间是_解析:要使5log21yx有意义,则210 x, 即12x, 而5l o gyu为0,上的增函数,当12x时, u2x1 也为 R 上的增函数,故原函数的单调增区间是1,2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精品资料欢迎下载答案:1,22函数 y x|1x|的单调增区间为_解析: yx|1x|1,121,1xxx作出该函数的图像如图所示由图像可知,该函数的单调增区间是( ,1答案:
6、 ( ,1 3设 函 数y f(x) 在,内 有 定 义 对 于 给 定 的 正 数k , 定 义 函 数,kfxfxkfxk fxk取函数2xfx,当 k12时,函数kfx的单调递增区间为() A( ,0)B(0, )C(,1) D(1, )解析:选 C由 f(x)12,得 1x1. 由 f(x)12,得 x 1 或 x1.所以122,11, 1122 ,1xxxfxxx,故12fx的单调递增区间为( , 1)解题通法 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即:(1)定义法; (2)复合法; (3)图像法; (4)导数法考点二函数单调性的判断典例 试讨论函数0kfxxkx的单调性解法
7、一:由解析式可知, 函数的定义域是,00,在(0,) 内任取1x,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精品资料欢迎下载2x,令12xx,那么122121212121211211x xkkkfxfxxxxxkxxxxxxx x因为120 xx,所以210 xx,120 x x. 故当12,xxk时,12fxfx,即函数在,k上单调递增当12,0,x xk时,12fxfx,即函数在0,k上单调递减考虑到函数0kfxxkx是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故在,k单调递增,在,0k上单调递减综上,函数f(x
8、)在,k和,k上单调递增,在,0k和0,k上单调递减解题通法 1利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后要注意差式的分解变形彻底2利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确针对训练 判断函数 g(x) 2xx1在 (1, ) 上的单调性解:任取 x1, x2 (1, ) ,且 x1x2,则12121212122221111xxxxg xg xxxxx,由于 1x1x2,所以 x1 x20,因此 g(x1) g(x2)0,即 g(x1)0 时, f(x)x2,则 x1x20,f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当 x0 时, f(x)0, f(x1x2)0,
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