2022年研究生应用数理统计基础庄楚强何春雄编制课后答案 .pdf
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1、研究生习题 2:2-7. 设) 1, 0( N,),(654321为其一样本,而26542321)()(,试求常数 c,使得随机变量c服从2分布。2-7 解:设3211,所以)3 ,0(1N6542,所以)3 ,0(2N所以)1 ,0(31N,)1 ,0(32N)2()(3133222212221由于2221因此当31c时,)2(2c。2-8. 设),(1021为)3.0,0(2N的一个样本,求101244.1iiP。 (参考数据:)2-8 解:因为)3.0,0(),(21021N,所以) 1, 0(3 .0N,即有)10(3 .021012ii所以101244.1iiP1012223 . 0
2、44.13. 0iiP10122163 .0iiP10122163. 01iiP1.09 .012-14. 设总体)4, 1( N,求20P与20P,其中是样本容量为16 的样本均值。(参考数据: )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - 2-14 解:20P)0()2(FF)210()212()21()21(1)21(23830. 016915.02由于)4, 1( N,所以) 1 ,0(2111621N20P211
3、22112110P22112P)2()2(9545.019725.021)2(22-17. 在总体)20,80(2N中随机抽取一容量为100 的样本,问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3 的概率是多少?(参考数据:)2-17 解:因为)20,80(2N,所以)1,0(2801002080N所以380P3801P232801P23280231P)5 .1()5.1 (11)5.1 (211336.0)93319.01(2)5 .1(222-25. 设总体的密度函数为其它0102)(xxxp取出容量为4 的样本),(4321,求:( 1)顺序统计量)3(的密度函数)(3xp; (2))3(的分
4、布函数)(3xF; (3)21)3(P。2-25 解: (1)由)()(1)(!1!)(1)(xpxFxFknknxpknkk所以当10 x时,xtdttdtxpxx2212! 1! 2!4)(020)3(25222124124xxxxx即统计量)3(的密度函数)()3(xp为:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - 其它010)1(24)(253xxxxp( 2)由于当10 x时,86025334)1(24)(xxd
5、tttxFx所以)3(的分布函数11103400)(863xxxxxxF(3))21(121121)3()3(FPP256243213214186习题 3:3-3. 已知总体的分布密度为:) 0(000);(xxexpx设),(21n是容量为 n 的样本,试分别求总体未知参数的矩估计量与MIE . 3-3 解:矩法由于xxdexdxexdxxxpE00);(11000 xxxedxexe令E所以1?MIE 当0 x时,构造似然函数niiixnnixeeL11)(所以niixnL1ln)(ln令0)(ln1niixndLd得niiniixnxn1111?即的极大似然估计量为1?3-5. 为检验某
6、种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50L 化验,每升水中大肠杆菌的个数(1L 水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布) ,化验结果如下:大肠杆菌数/ L 0 1 2 3 4 5 6 升 数17 20 10 2 1 0 0 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 3-5 解:由于1L 水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布所以)0(!)(e
7、xxpx所以的估计量为?即有1)0014231022010(501?所以平均每升水中大肠杆菌个数为1的概率为最大。3-26. 随机地取某种炮弹9 发做试验, 得炮口速度的样本标准差smS11*。设炮口速度是正态分布的,求这种炮弹的炮口速度的标准差的 95%置信区间。(参考数据:)3-26 解:设),(2N则) 1()1(222*nSn由1)1()1()1(22122*22nSnnP得2的1的置信区间为:)1()1(,)1()1(222*2212*nSnnSn将数据81n,535.17)8()1(2975.0221n,180.2)8()1(2025.022n,11*S代入,得2的 95%置信区间
8、为( 55.2,444.0) ,即的 95%置信区间为( 7.4,21.1). 习题 4:4-1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常下服从)108.0,55.4(2N,现在测了5 炉铁水,其含碳量分别为:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37 如果方差没有改变,问总体均值有无变化?(显著性水平05. 0) (参考数据:)4-1. 解:检验问题010055.4:;:HH由),(2N且2为已知,所以2100unxP即 检验问题的拒绝域为210unx计算得:364.45151iixx有85.35108. 055.4364.40nx而96.1975. 0205.0121uuu,名师资料总结 -
9、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - 即有210unx成立,故 拒绝0H,即认为总体均值有变化。4-2. 设某厂一台机器生产的纽扣,据经验其直径服从),(2N,2. 5。为检验这台机器生产是否正常,抽取容量n =100 的样本,并由此算得样本均值56.26x,问该机器生产的纽扣的平均直径为26,这个结论是否成立?(显著性水平1 .0)(参考数据: )4-2. 解:检验问题010026:;:HH由),(2N且2为已知,所以2100un
10、xP即 检验问题的拒绝域为210unx由56.26x,2 .5, n =100 得08.11002.52656.260nx而645.195.021.0121uuu,即有nx021u,故 接受0H,即认为这个结论是成立的。4-11. 已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布,长期以来,其抗拉强度平均为52.002mmkg。现改变炼钢的配方,利用新法炼了7 炉钢,从这 7 炉钢生产的钢筋中每炉抽一根,测得其强度分别为:52.45,48.51,56.02,51.53,49.02,53.38,54.04 问用新法炼钢生产的钢筋,其强度的均值是否有明显提高?(显著性水平05. 0)(参考数据:)4-11.
11、 解:检验问题010052:;:HH由),(2N且2为未知,所以) 17(1*00tnSxP即 检验问题的拒绝域为)6(1*0tnSx计算得136.527171iixx,71.2)(171712*iixxS,n =7 得133.0771.252136.52*0nSx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 而9432.1)6()6()6(95.005. 011ttt,即有nSx*0)6(1t,故 接受0H,即 认为强度均
12、值无明显偏高。4-37. 在一实验中,每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到达计数器上的粒子数,共观察了 100 次,得结果如下表所示:i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 i1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 100 其中i是观察到有i 个粒子的次数。从理论上来考虑知服从 Possion分布),2,1,0(!ieiiPi问:这理论考虑是否符合实际?(显著性水平05.0)(参考数据:)4-37. 解:检验问题:0H服从 Possion 分布(在显著性水平05. 0下)100n2.41001?iix由公式,得7 ,2, 1 , 0!2 .4?2.4ieiiPp
13、ii7011,10,9, 8?iiPp并计算2的观测值,见下表:iiip?ipn?iiipnpn?)?(20 1 0.0150 1.50 0.1667 1 5 0.0630 6.30 0.2683 2 16 0.1323 13.23 0.5780 3 17 0.1852 18.52 0.1248 4 26 0.1944 19.44 2.2139 5 11 0.1633 16.33 1.7397 6 9 0.1143 11.43 0.5166 7 9 0.0686 6.86 0.6676 8 2 6.39 0.0238 9 1 10 2 11 1 100 1 100 6.2994 0639.0名
14、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - 即检验统计量2的观测值为:2994.6?)?(22iiipnpn而067.14)7()119()1(295.0205.0121rk亦即)7(205. 012故接受0H ,即认为理论考虑符合实际。4-45. 自动车床加工中轴,从成品中抽取11 根,并测得它们的直径(mm)如下:10.52,10.41,10.32,10.18,10.64,10.77,10.82,10.67,10.59,
15、10.38,10.49 试用 W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布?(显著性水平05.0)(参考数据: )4-45. 解:数据的顺序统计量为:10.18,10.32,10.38,10.41,10.49,10.52,10.59,10.64,10.67,10.77,10.82 L的计算如下表:k )(kx)1(knx)()1(kknxx)(ka)()1()(kknkxxa1 10.1810.820.64 0.5601 0.3585 2 10.3210.770.45 0.3315 0.1492 3 10.3810.670.29 0.2260 0.0655 4 10.4110.640.23 0
16、.1429 0.0329 5 10.4910.590.10 0.0695 0.0070 所以6131.0)()1(51)(kknkkxxaL,又5264.10 x,得38197.0)(1112iixx故984.0)(11122iixxLW,又当 n = 11 时,85.005.0W即有105. 0WW,从而接受正态假设,亦即零件直径服从正态分布。4-47. 甲、乙两个车间生产同一种产品,要比较这种产品的某项指标波动的情况,从这两个车间连续 15 天取得反映波动大小的数据如下表:甲1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.3
17、4 1.57 乙1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84 1.95 在05.0下,用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合” 。(参考数据:)4-47. 解:在05.0下,检验假设)()()()(211210 xFxFHxFxFH:;:甲1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34 1.57 乙1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.8
18、4 1.95 符号名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - 由上表知:2,11nn,13nnn查13n,05.0的符号检验表,得 临界值5 .2S,而2,minnnS,即:SS,故拒绝0H即 认为这两车间所生产的产品的该项指标波动情况不同4-51. 对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案,现观测到两组失效时间(单位:小时)如下表所示:甲7 26 10 8 27 30 25 35乙3 150 42 84 72
19、28 101 29 在显著性水平05.0下,用游程检验法(两种方法)检验这两种维修方案是否有一种维修方案显著地优于另一种方案?(参考数据:)4-51. 解: ()基于游程总个数R 的检验法设 甲仪器失效时间服从分布)(1xF,乙仪器失效时间服从分布)(2xF。检验问题)()(210 xFxFH :将、混排(的样本值带下划线)得:3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 84 101 150 即 游程总个数R = 5 而 当821nn,05.0时,605. 0,1R所以05. 0,1RR,故 拒绝0H,认为这两种维修方案有一种维修方案显著地优于另一种方案。习题 5:
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