2022年调和点列 .pdf
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1、调和点列 ( 一) 一、线段调和分割的基本概念如果线段 AB被两点 C,D 内分与外分成同一比例,则称线段AB被点 C 和 D调和分割 . 亦称点列 A,B;C,D 为调和点列 . 显然,当 C,D 调和分割 AB时,也可称 A、B两点调和分割 CD.有时也称点 C和 D是线段 AB的调和共轭点 . 若从共点直线外任一点P作射线 PA,PC,PB,PD ,则可称射线束为 调和线束 ,且 PA与 PB共轭, PC与 PD共轭. 二、调和点列的性质调和点列联系了众多的图形,因而它有一系列有趣的性质. 性质 1设 A,C,B,D 是共线四点,点 M为 AB中点,则 C,D调和分割线段 AB的充要条件
2、是满足下述六个条件之一. (1)点 AB调和分割 CD. (2)112ACADAB. (3)22AB CDADBCACDB?. (4)CA CBCMCD?. (5)DA DBDMDC?. (6)22MAMBMCMD?. CDMAB性质 2设 A,C,B,D 是共线四点,过共点直线外一点P引射线 PA,PC,PB,PD ,则C,D调和分割线段 AB的充要条件是满足下述两个条件之一. (1)线束 PA,PC,PB,PD ,其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等的两线段 . (2) 另一直线l分别交射线PA,PC,PB,PD 于点A,C,B,D时,点C,D调和分割线段 AB. 名师资料总结 -
3、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - lACBDDCABP性质 3对线段 AB的内分点 C和外分点 D ,以及直线 AB外一点 P,给出如下四个论断:PC是APB的平分线 . PD是APB的外角平分线 . C,D调和分割线段 AB.PC PD. 以上四个论断中, 任选两个作题设, 另两个作结论组成的六个命题均为真命题. DCABP性质 4三角形的一边被其边上的内(旁)切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是,另一点与其余两边上的两个切点
4、三点共线. 性质 5 从圆 O外一点 A引圆的割线交圆O于 C,D,若割线 ACD 与点 A的切点弦交于点 B,则弦 CD被 A,B 调和分割 . 三、几个推论1、性质 2 的推论:推论 1梯形的两腰延长线的交点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线. MDFNACEB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 推论 2完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割. MGFDACENB推论 3过完全四边形对角线所在直线的交
5、点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边或其延长线相交,所得线段被此对角线所在直线上的交点平分 . SJITMFDACENB2、性质 3 的推论:推论 4三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割. 推论 5两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割. 推论 6若 C,D两点调和分割圆的直径AB , 则圆周上任一点到 C,D 两点的距离之比是不等于 1 的常数 . 反之,若一动点到两定点的距离之比为不等于1 的常数,则该动点的轨迹是一个圆 .(Apollonius圆) 推论 7从圆周上一点作两割线,它们与圆相交的非公共的两点连线,垂直于这条连线的
6、直径所在的直线与两割线相交,则这条直径被这两割线调和分割. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 推论 8一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是,已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交 ( 即交点处切线相互垂直 ). FODCABO1推论 9设点 C是AEF的内心,角平分线AC交边 EF于点 B,射线 AB交AEF的外接圆圆 O2于点 O , 则射线 AB上的点 D为AEF的旁心的充要条件是ACDOCBOB. 推论
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