2022年全等三角形经典题型——辅助线问题 .pdf
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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法( 含答案 ) 总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。1. 等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4
2、. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” :遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6. 图形补全法:有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度
3、与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页DCBAEDFCBA利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法
4、,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理( 2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法, 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法
5、,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法: 在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等例 1、已知,如图ABC中, AB=5 ,AC=3 ,则中线AD的取值范围是 _. 解:延长AD至 E使 AE 2AD ,连 BE ,由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 例 2、如图, ABC中, E、F 分别在 AB 、AC上, DE DF,D是中点,试比较BE+CF与 EF的大小
6、 . 解: ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG2EF,连 BG ,EG, 显然 BG FC ,在 EFG中,注意到DE DF,由等腰三角形的三线合一知EG EF 在 BEG中,由三角形性质知EGBG+BE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 22 页故: EFBE+FC 例 3、如图, ABC中, BD=DC=AC,E是 DC的中点,求证:AD平分 BAE. EDCBA解:延长AE至 G使 AG 2AE ,连 BG ,DG, 显然 DG AC ,GDC= ACD 由于 DC=AC ,故AD
7、C= DAC 在 ADB与 ADG中, BDAC=DG ,AD AD ,ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故 ADB ADG ,故有 BAD= DAG ,即 AD平分 BAE 应用:腰RtACE,1、以 的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等90 ,BADCAE连接 DE,M、N分别是 BC、DE的中点探究:AM与DE的位置关系及数量关系( 1)如图当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段 AM与DE的数量关系是;( 2) 将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转(090)后, 如图所示, ( 1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由A
8、BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页解: (1)AMED2,EDAM;证明:延长AM 到 G,使AMMG,连 BG,则 ABGC 是平行四边形BGAC,180BACABG又180BACDAEDAEABG再证:ABGDAEAMDE2,EDABAG延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG90DAHHDAEDAM(2)结论仍然成立证明:如图,延长CA 至 F,使FAAC,FA 交 DE 于点 P,并连接BFBADA,AFEAEADDAFBAF90在FAB和EAD中DABAEADBAFAEFAEADFAB(SAS
9、)DEBF,AENF90AENAPEFFPDDEFB又AFCA,MBCMFBAM /,且FBAM21DEAM,DEAM21二、截长补短1、如图,ABC中, AB=2AC ,AD平分BAC,且 AD=BD ,求证: CD AC 解: (截长法)在AB上取中点F,连 FD ADB是等腰三角形,F 是底 AB中点,由三线合一知DF AB ,故 AFD 90ADF ADC (SAS )GC H A B D M N E FC P A B D M N E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页ACD AFD 90即: CD A2、
10、如图, AD BC ,EA,EB分别平分 DAB,CBA ,CD过点 E,求证 ;ABAD+BC 解: (截长法)在AB上取点 F,使 AFAD ,连 FE ADE AFE (SAS )EDCBAADE AFE ,ADE+ BCE 180AFE+BFE 180故 ECB EFB FBE CBE (AAS )故有 BFBC 从而 ;ABAD+BC PQCBA3、如图,已知在ABC内,060BAC,040C,P,Q 分别在 BC ,CA上,并且 AP,BQ分别是BAC,ABC的角平分线。求证:BQ+AQ=AB+BP 解: (补短法 , 计算数值法)延长AB至 D,使 BD BP ,连 DP 在等腰
11、 BPD中,可得 BDP 40精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页DCBAP21DCBA从而 BDP 40 ACP ADP ACP (ASA )故 AD AC 又 QBC 40 QCB 故 BQ QC BD BP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中, BC BA,AD CD ,BD平分ABC,求证:0180CA解: (补短法)延长BA至 F,使 BFBC ,连 FD BDF BDC (SAS )故 DFB DCB ,FDDC 又 AD CD 故在等腰 BFD中DFB DAF 故有 BAD+ B
12、CD 1805、如图在 ABC中, AB AC , 1 2,P为 AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC 解: (补短法)延长AC至 F,使 AFAB ,连 PD ABP AFP (SAS )故 BP PF 由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图,在 ABC的边上取两点D 、E,且 BD=CE ,求证: AB+ACAD+AE. 证明:取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.BD=CE, DM=EM, DMNEMA(SAS), DN=AE, 同理 BN=
13、CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中, B=60, ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证: OE=OD ,DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线, 计算数值法 )B=60 度, 则BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线 , 则OAC+OCA=60 度=AOE=COD; AOC=120 度. 在 AC 上截取线段 AF=AE, 连接 OF. 又 AO=AO; OAE=OAF
14、 .则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页则COF=AOC-AOF=60 度=COD; 又 CO=CO; OCD=OCF. 故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. 2、如图, ABC中, AD平分 BAC ,DG BC且平分 BC ,DE AB于 E,DF AC于 F. (1)说明 BE=CF的理由;(2)如果 AB=a,AC=b,求 AE 、BE的长 . 解: ( 垂直平分线联结线段
15、两端) 连接 BD ,DC DG垂直平分BC ,故 BD DC 由于 AD平分 BAC , DEAB于 E,DF AC于 F,故有ED DF 故 RTDBE RTDFC (HL)故有 BE CF。AB+AC 2AE AE ( a+b) /2 BE=(a-b)/2 应用:1、如图, OP 是 MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图, 在 ABC 中,ACB 是直角, B=60,AD、CE 分别是 BAC、BCA的平分线, AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系;(2)如图
16、,在 ABC 中,如果 ACB 不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问,你在 (1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。解: (1)FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE(2)答:(1)中的结论FDFE仍然成立。EDGFCBA(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页FEDCBA证法一: 如图 1,在 AC 上截取AEAG,连结 FG 21,AF 为公共边,AGFAEFAFGAFE,FGFE60B,
17、AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线603260AFGCFDAFE60CFG43及 FC 为公共边CFDCFGFDFGFDFE证法二: 如图 2,过点 F 分别作ABFG于点 G,BCFH于点 H 60B, AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线可得6032,F 是ABC 的内心160GEF,FGFH又1BHDFHDFGEF可证DHFEGFFDFE五、旋转例 1 正方形 ABCD 中,E为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF ,求 EAF的度数 . 证明:将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度,至三角形ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF
18、 又 AE=AE ,AF=AG,所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF=GAE=BAE+GAB= BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以 EAF=45 度F B E A C D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB的中点, DM DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。(1) 当MDN绕点 D转动时,求证DE=DF 。(2) 若 AB=2,求四边形DECF 的面
19、积。解: (计算数值法 ) (1)连接 DC ,D为等腰Rt ABC斜边 AB的中点,故有CD AB,CD DA CD平分 BCA 90, ECD DCA 45由于 DM DN ,有 EDN 90由于 CDAB ,有 CD A90从而 CDE FD A故有 CDE ADF (ASA )故有 DE=DF (2)SABC=2, S四 DECF= SACD=1例 3 如图,ABC是边长为3 的等边三角形,BDC是等腰三角形,且0120BDC,以 D为顶点做一个060角,使其两边分别交AB于点 M ,交 AC于点 N,连接 MN ,则AMN的周长为;解: (图形补全法 , “截长法”或“补短法”, 计
20、算数值法 ) AC 的延长线与BD 的延长线交于点 F,在线段 CF 上取点 E,使 CEBM ABC 为等边三角形,BCD 为等腰三角形,且BDC=120 , MBD= MBC+ DBC=60 +30 =90 ,DCE=180 -ACD=180 -ABD=90 ,又 BM=CE ,BD=CD ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页 CDE BDM , CDE= BDM , DE=DM ,NDE= NDC+ CDE= NDC+ BDM= BDC- MDN=120 -60 =60 ,在 DMN 和 DEN 中,DM=
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